Ist die Änderung der Lagrangedichte immer eine totale Ableitung für Symmetrietransformationen der Wirkung?

Question

Ist die Änderung der Lagrangedichte immer eine totale Ableitung für Symmetrietransformationen der Wirkung?

AccidentalFourierTransform

Lassen $\Omega\subset\mathbb R^n$ und betrachte ein beliebiges Funktional

S : C^{k} (Ω) \to R

$S\colon C^k(\Omega)\to\mathbb R$ das ist lokal,

ϕ \overset{S}{\mapsto} \int_{Ω} L (ϕ, D ϕ, \dots, D^{k} ϕ)

$\phi\overset S\mapsto \int_\Omega L(\phi,D\phi,\dots,D^k\phi)$ für

L

$L$ manche

n

$n$ -Form unter Werten in der

k

$k$ -Jet-Raum

J^{k} ϕ

$J^k\phi$ . Wir dürfen anrufen

S

$S$ die Aktion funktional, und

L

$L$ seine zugehörige Lagrange-Funktion (obwohl wir das nicht annehmen

δ S [ϕ] = 0

$\delta S[\phi]=0$ , dh wir arbeiten off-shell).

Es gibt zwei Begriffe einer Symmetrie, die typischerweise diskutiert werden:

Lagrange-Symmetrien, also Transformationen der Form $\phi\to\phi'$ das befriedigt $L - L^{'} = D Θ$ $L-L'=\mathrm d\Theta$ für einige $(n-1)$ -form $\Theta$ , und wo $L'(J^k\phi)=L(J^k\phi')$ .
Aktionssymmetrien, dh Transformationen der Form $\phi\to\phi'$ das befriedigt $S - S^{'} = 0$ $S-S'=0$ Wo $S'[\phi]=S[\phi']$ .

Wenn wir davon ausgehen, dass die Randbedingungen so sind, dass $\Theta|_{\partial\Omega}=0$ , dann ist klar, dass Lagrange-Symmetrien auch Aktionssymmetrien sind.

Wenn wir davon ausgehen $\Omega$ "nice-enough" ist (z. B. sternförmig), dann glaube ich, dass jede Aktionssymmetrie auch eine Lagrange-Symmetrie ist, obwohl ich gerne eine genauere Aussage zu dieser Tatsache hätte. Mit anderen Worten, meine Frage ist

Sind diese beiden Symmetriebegriffe äquivalent? Unter welchen Bedingungen?

Darüber hinaus, wie sehr können wir die Annahmen schwächen? Können wir zum Beispiel nehmen $\Omega$ Einfach verbunden statt sternförmig? Können wir nehmen $\phi$ statt starker nur schwache Ableitungen zu haben?

AccidentalFourierTransform

NB: Ich denke nur an vertikale Transformationen.

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Ist die Änderung der Lagrangedichte immer eine totale Ableitung für Symmetrietransformationen der Wirkung?

QMechaniker · Answer 1

Die Definition 1 von OP wird oft als Quasisymmetrie bezeichnet $^1$ (QS) der Lagrange-Dichte ${\cal L}$ , oder äquivalent, ein QS des Lagrange $n$ -form
$L = L D X^{0} \land \dots \land D X^{N - 1} .$ $\mathbb{L}~=~{\cal L}~\mathrm{d}x^0 \wedge \ldots \wedge \mathrm{d}x^{n-1}.$
Die Definition 2 von OP sollte auf eine Quasi-Symmetrie (QS) der Aktion gelockert werden
$S_{Ω} = \int_{Ω} L,$ $S_{\Omega}~=~\int_{\Omega} \mathbb{L} ,$ wobei sich die Wirkung mit Randtermen ändern darf. [Dies liegt zum Teil daran, dass die Noether-Variationen nicht unbedingt die Randbedingungen erfüllen, die wir normalerweise auferlegen, wenn wir die Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen herleiten.]
Die folgende Implikation ist trivial:

Ein QS der Lagrange-Dichte ${\cal L}$ ist auch ein QS der Aktion $S_{\Omega}$ .

Die Hauptfrage von OP ist

Was ist mit der Gegenrichtung?

Das ist eine gute Frage! Angenommen, wir wissen, dass eine Transformation ein QS für ist $S_{\Omega}$ für mindestens einen einzelnen festen Integrationsbereich $\Omega$ . Dann kann immer noch geschlossen werden, dass es sich um ein QS der Lagrange-Dichte handelt ${\cal L}$ Wenn
- (i) die Lagrange-Dichte ${\cal L}$ ist lokal und
- (ii) wenn der Feldkonfigurationsraum kontrahierbar ist .
Dies liegt an einem algebraischen Poincare-Lemma, vgl. Ref. 1. Beachten Sie insbesondere, dass mögliche topologische Hindernisse im Feldkonfigurationsraum leben, nicht in der Raumzeitregion $\Omega$ .
Beispiel. Lassen
$L = L D T, L = \frac{1}{2} {(- ich G^{- 1} \dot{G})}^{2} = \frac{1}{2} {\dot{θ}}^{2}, Ω = [T_{ich}, T_{F}],$ $\mathbb{L}~=~L~\mathrm{d}t, \qquad L~=~\frac{1}{2}\left(-ig^{-1}\dot{g}\right)^2 ~=~\frac{1}{2}\dot{\theta}^2 ,\qquad \Omega~=~[t_i,t_f],$ Wo $G = e^{ich θ} \in U (1) ≅ S^{1}$ $g~=~e^{i\theta}~\in~ U(1)~\cong~ S^1$ Ist $U(1)$ -bewertet mit $|g|=1$ . Hier $\theta\in\mathbb{R}$ ist eine mehrwertige Winkelvariable $\theta\sim \theta+2\pi$ , und daher per se keine global wohldefinierte Koordinate. Beachten Sie insbesondere, dass das Feld configuration space $S^1$ ist nicht kontrahierbar.

Betrachten Sie eine infinitesimale Transformation
$δ G = ich ε T G, δ θ = - ich G^{- 1} δ G = ε T,$ $\delta g ~=~i\varepsilon t~ g, \qquad \delta\theta ~=~-ig^{-1} \delta g~=~\varepsilon t,$ Wo $\varepsilon$ ist ein $t$ -unabhängiger infinitesimaler Parameter. Die Transformation ist keine QS der Lagrange-Funktion $δ L = ε \dot{θ} = ε (- ich G^{- 1} \dot{G}),$ $\delta L ~=~\varepsilon\dot{\theta} ~=~ \varepsilon\left(-ig^{-1}\dot{g}\right),$ weil es nicht als Gesamtzeitableitung geschrieben werden kann, indem nur gute Koordinaten verwendet werden. Aber die Änderung der Aktion ist $δ S_{Ω} = ε (θ (T_{F}) - θ (T_{ich}))$ $\delta S_{\Omega}~=~\varepsilon(\theta(t_f)-\theta(t_i))$ Dies ist ein wohldefiniertes Randintegral, das unabhängig von der ist $\theta$ -Zweig. Die Transformation ist also ein QS der Handlung. Die entsprechende Noether-Ladung $Q = T \dot{θ} - θ$ $Q~=~t\dot{\theta}-\theta$ fehlt es an guten Koordinaten.

Verweise:

G. Barnich, F. Brandt und M. Henneaux, Lokale BRST-Kohomologie in Eichtheorien, Phys. Rep. 338 (2000) 439, arXiv:hep-th/0002245 .

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$^1$ In dieser Antwort werden wir der Einfachheit halber nur infinitesimale Variationen/Transformationen berücksichtigen.

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AccidentalFourierTransform

AccidentalFourierTransform

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QMechaniker

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