Lügenalgebra axialer Ladungen

Question

Lügenalgebra axialer Ladungen

gian_25

Ausgehend vom Lagrangian (lineares Sigma-Modell ohne Symmetriebrechung, hier $N$ ist das Nukleon-Dublett und $\tau_a$ sind Pauli-Matrizen)

$L=\bar Ni\gamma^\mu \partial_\mu N+ \frac{1}{2} \partial_\mu\sigma\partial^\mu\sigma+\frac{1}{2}\partial_\mu\pi_a\partial^\mu\pi_a+g\bar N(\sigma+i\gamma_5\pi_a \tau_a)N$

Wir können konservierte Ströme konstruieren, indem wir den Satz von Noether anwenden, auf den wir angewendet werden $SU(2)_L\otimes SU(2)_R$ Symmetrie: Wir erhalten drei Ströme für jeden $SU(2)$ . Indem wir sie addieren und subtrahieren, erhalten wir Vektor- und Axialströme.
Wir hätten Vektorladungen schnell erhalten können, indem wir beobachteten, dass es sich nur um Isospinladungen handelt, also verhalten sich Nukleonen wie ein $SU(2)$ Dublett (fundamentale Darstellung), Pionen als Triplett (adjungierte Darstellung) und Sigma als Singulett (es transformiert sich also im Grunde nicht):

$V_a=-i\int d^3x \,\,[iN^\dagger\frac{\tau_a}{2}N+\dot\pi_b(-i\epsilon_{abc})\pi_c]$

Aber wenn ich dasselbe mit axialen Ladungen machen wollte, welche Lie-Algebra/Darstellung muss ich für Pionen und Sigma verwenden?
Ich meine, axiale Ladungen sind es

$A_a=-i\int d^3x \,\,[iN^\dagger\frac{\tau_a}{2}\gamma_5N+i(\sigma\dot\pi_a-\dot\sigma\pi_a)]$

und ich möchte den zweiten Term reproduzieren, indem ich eine Darstellung von Lie-Algebra-Generatoren der Achsensymmetrie verwende, die auf wirken $\sigma$ Und $\pi$ , aber ich kenne die Algebra nicht (glaube ich $SU(2)$ ), weder die zu verwendende Darstellung.
Ich habe versucht, diese Form mit den drei Matrizen zu reproduzieren

$T^1=\begin{bmatrix} 0&-i&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{bmatrix}\quad T^2=\begin{bmatrix} 0&0&-i&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&0 \end{bmatrix}\quad T^3=\begin{bmatrix} 0&0&0&-i\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0 \end{bmatrix}$

was auf den Vektor wirken soll $(\sigma,\pi_1,\pi_2,\pi_3)$ , aber ich habe ihren Kommutator berechnet und sie bilden keine Algebra, also glaube ich, dass ich irgendwo in meiner Argumentation falsch liege.

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Lügenalgebra axialer Ladungen

David Bar Mosche · Answer 1

Im linearen Sigma-Modell kann die chirale Wirkung auf die Pion-Felder auf die folgende Matrixkombination der Felder implementiert werden:

U (2) ∋ Σ = σ + ich τ^{A} π_{A}

$U(2) \ni \Sigma = \sigma + i \tau^a \pi_a$

Ein Element $(U_L = exp(\frac{i}{2}\theta^{(L)}_a \tau^a), U_R = exp(\frac{i}{2}\theta^{(R)}_a \tau^a)) \in SU(2)_L \otimes SU(2)_R$ wirkt auf \Sigma wie folgt:

Σ \to Σ^{'} = U_{L} Σ U_{R}^{†}

$\Sigma \rightarrow \Sigma' = U_L \Sigma U_R^{\dagger}$

Der kinetische Term der Lagrange-Funktion in der Matrixdarstellung ist gegeben durch:

L_{k ich N} = \frac{1}{2} \partial_{μ} Σ \partial^{μ} Σ^{†}

$L_{kin} = \frac{1}{2} \partial_{\mu}\Sigma \partial^{\mu}\Sigma^{\dagger}$ .

Dieser Term ist offensichtlich unter allen Transformationen unveränderlich. Der Interaktionsterm hat auch eine offensichtlich invariante Form:

L_{ich N T} = {\bar{N}}_{L} Σ N_{R} + {\bar{N}}_{R} Σ^{†} N_{L}

$L_{int} = \bar{N}_L \Sigma N_R+ \bar{N}_R \Sigma^{\dagger} N_L$ .

Wo $N_{L,R} = (1\pm \gamma_5)N$ . Somit ist die gesamte Lagrange-Funktion invariant unter den chiralen Transformationen.

Die Vektortransformation wird durch die Untergruppe erzeugt, die gekennzeichnet ist durch:

θ^{(L)} = θ^{(R)} = θ^{(v)}

$\theta^{(L)} = \theta^{(R)} = \theta^{(V)}$

Die axiale Transformation wird durch die Teilmenge erzeugt, die gekennzeichnet ist durch:

θ^{(L)} = - θ^{(R)} = θ^{(A)}

$\theta^{(L)} = -\theta^{(R)} = \theta^{(A)}$

Einsetzen in die Transformationsgleichungen von $\Sigma$ und unter Beibehaltung nur der linearen Terme (dies genügt für die Anwendung des Satzes von Noether) erhalten wir:

-Vektortransformation:

π_{A}^{'} = π_{A} + ϵ_{A B C} θ_{B}^{(v)} π_{C}

$\pi_a' = \pi_a +\epsilon_{abc}\theta^{(V)}_b \pi_c$

σ^{'} = σ

$\sigma' = \sigma$

-Axialtransformation:

π_{A}^{'} = π_{A} + θ_{A}^{(A)} σ

$\pi_a' = \pi_a +\theta^{(A)}_a \sigma$

σ^{'} = σ + θ_{A}^{(A)} π_{A}

$\sigma' = \sigma + \theta^{(A)}_a \pi_a$

Nun ist es nicht schwer zu sehen, dass diese Transformationen die korrekten Beiträge der pionischen Felder zu den Strömen erzeugen.

Danke, es funktioniert, aber es muss ein Minuszeichen im axialen Transformationsgesetz von geben $\sigma$ . Wie auch immer, gibt es eine Möglichkeit, es in eine Form zu bringen wie $Q_a=-i\int d^3x\,\,(\pi_i T^a_{ij} \phi_j)$ , wo hier $\pi_i=\dot\phi_i$ ist das konjugierte Moment? Ich kann das nicht herausfinden $\phi_i$ und das $T^a_{ij}$ , die eine Darstellung von bilden sollte $SU(2)$
@gian_25 Die Matrixdarstellung ist nur die 4-dimensionale grundlegende Darstellung von $SO(4) = SU(2) \times SU(2)$ , was die Indizes des 4-Raums entsprechend bezeichnet $(\sigma, \pi_1, \pi_2, \pi_3)$ von $0,1,2,3$ . Dann $(T^{V}_i)_{jk} = i \epsilon_{ijk}, (T^{(A)}_i)_{jk} = i (\delta_{ji}\delta_{k0}+ \delta_{ki}\delta_{i0})$ . Bitte beachten Sie, dass der Kommutator zweier Axialgeneratoren ein Vektorgenerator ist.
Ok, ich glaube da fehlt noch ein Minus und $T^{(A)}_i$ dieselben Matrizen werden, die ich zuvor geschrieben habe, aber jetzt verstehe ich, was ihre Kommutatoren sind. Danke für die Antwort!

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gian_25

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David Bar Mosche

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