Nichtabelsche globale Symmetrien, SO(N)SO(N)SO(N)-Ladungen in Bezug auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Question

Nichtabelsche globale Symmetrien, SO(N)SO(N)SO(N)-Ladungen in Bezug auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Antonio

Betrachten Sie eine $SO(N)$ Symmetrische Theorie der $N$ echte Skalarfelder,

L = \frac{1}{2} \partial_{μ} Φ^{A} \partial^{μ} Φ^{A} - \frac{1}{2} M^{2} Φ^{A} Φ^{A} - \frac{1}{4} λ (Φ^{A} Φ^{A})^{2} .

$\mathcal{L} = {1\over2} \partial_\mu \Phi^a \partial^\mu \Phi^a - {1\over2} m^2 \Phi^a \Phi^a - {1\over4} \lambda (\Phi^a \Phi^a)^2.$ Die Noether-Ladung ist

Q_{A B} = \int_{Ω^{3}} D^{3} X J_{A B}^{0},

$Q_{ab} = \int_{\Omega^3} d^3x\,J_{ab}^0,$ Wo

Ω^{3}

$\Omega^3$ ist alles Raum.

Q

$Q$ ist zeitlich konstant. Wir können ausdrücken

J^{0}

$J^0$ bezüglich

π

$\pi$ Und

Φ

$\Phi$ als

J_{A B}^{0} = \partial^{0} Φ_{A} ϵ_{A B} Φ_{B} = π_{A} ϵ_{A B} Φ_{B} .

$J_{ab}^0 = \partial^0 \Phi_a \epsilon_{ab}\Phi_b = \pi_a \epsilon_{ab} \Phi_b.$ Definieren

ϵ^{ich J} = {\begin{cases} 1 & Wenn (ich, J) = (A, B) \\ 0 & ansonsten. \end{cases}} = - ϵ^{J ich},

$\epsilon^{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if }(i, j) = (a, b) \\ 0 & \text{otherwise.}\end{cases}\Big\} = -\epsilon^{ji},$ So

ϵ^{a b} = 1 = - ϵ^{b a}

$\epsilon^{ab} = 1 = -\epsilon^{ba}$ und alle anderen Einträge sind

0

$0$ . Dann wird die Noether-Ladung

Q_{A B} = \int D^{3} X J_{A B}^{0} = \int D^{3} X π_{A} ϵ_{A B} Φ_{B} = \frac{1}{2} \int D^{3} X (π_{A} Φ_{B} - π_{B} Φ_{A}) .

$Q_{ab} = \int d^3x\,J_{ab}^0 = \int d^3x\,\pi_a \epsilon_{ab} \Phi_b = {1\over2} \int d^3x(\pi_a \Phi_b - \pi_b \Phi_a).$ Beim Zusammenfassen

S O (N)

$SO(N)$ Indizes nehmen wir einen Faktor von

\frac{1}{2}

${1\over2}$ da die Schiefsymmetrie von

ϵ

$\epsilon$ führt dazu, dass wir doppelt zählen.

Meine Frage ist, was sind die $SO(N)$ Gebühren $Q_{ab}$ hier in Bezug auf bosonische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren?

Antworten (1)

Nichtabelsche globale Symmetrien, SO(N)SO(N)SO(N)-Ladungen in Bezug auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Noiralef · Answer 1

Zunächst einmal gibt es ein paar Probleme mit Ihrer Frage:

$J_{ab}^0 = \pi^a \epsilon^{ab} \Phi^b$ ist kein gültiger Ausdruck, da auf der rechten Seite der Gleichung summiert wird, auf der linken Seite aber a und b freie Indizes sind. Ihre Definition von $\epsilon$ ist auch etwas seltsam. Was du meinst ist $J_{A B}^{0} = π^{ich} ϵ_{A B}^{ich J} Φ^{J}$ $J_{ab}^0 = \pi^i \epsilon_{ab}^{ij} \Phi^j$ wo die Matrizen $\epsilon_{ab}$ sind die Generatoren der Lie-Algebra $so(N)$ , dh $ϵ_{A B}^{ich J} = {\begin{cases} 1 & Wenn (A, B) = (ich, J) \\ - 1 & Wenn (A, B) = (J, ich) \\ 0 & ansonsten \end{cases}$ $\epsilon_{ab}^{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } (a,b)=(i,j) \\ -1 & \text{if } (a,b)=(j,i) \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
Eigentlich, $\pi^i \epsilon_{ab}^{ij} \Phi^j = \pi^a \Phi^b - \pi^b \Phi^a$ , also die $\frac 1 2$ ist zu viel in der letzten Zeile.

Zu deiner Frage, hast du es selbst probiert? Du musst einfügen

Φ^{A} = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3} \sqrt{2 E}} (A^{A} (P) e^{ich P X} + (A^{A})^{†} (P) e^{- ich P X})

$\Phi^a = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3 \sqrt{2E}} \left( a^a(p) e^{ipx} + (a^a)^\dagger(p) e^{-ipx} \right)$ (plus den ähnlichen Ausdruck für

π^{a}

$\pi^a$ ) und verwenden

\int d^{3} x e^{i (p - p^{'}) x} = (2 π)^{3} δ (p - p^{'})

$\int d^3x e^{i(p-p')x} = (2\pi)^3 \delta(p-p')$ , dann solltest du ein Ergebnis bekommen.

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Antonio

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