Kommutierungsbeziehungen in der zweiten Quantisierung

Das kenne ich von Betreibern$a(\chi_1), a(\chi_2)$gleichen Typs (fermionisch oder bosonisch)

$$[a(\chi_1), a(\chi_2)]_{-\xi} = [a^\dagger (\chi_1), a^\dagger (\chi_2)]_{-\xi} = 0 \tag{1}$$

Wo

$$\xi = \begin{cases} +1 &\text{for bosons} \\ -1 &\text{for fermions} \end{cases} \tag{2}$$

Und$[.]_{-1}$ist Kommutator und$[.]_{+1}$ist Antikommutator. Ich weiß auch, wie diese Operatoren auf beliebige Fock-Zustände reagieren:

$$a^\dagger (\chi) | \phi_1, \dots, \phi_N \rangle = | \chi, \phi_1, \dots, \phi_N \rangle \tag{3}$$

$$a (\chi) | \phi_1, \dots, \phi_N \rangle = \sum_j \xi^{j-1} \langle \chi | \phi_j \rangle | \phi_1, \dots, \hat{\phi}_j, \dots, \phi_N \rangle \tag{4}$$

Wo$\hat{\psi_k}$bezeichnet das Fehlen einer bestimmten Wellenfunktion.

Wie leite ich eine Beziehung ab

$$[a (\chi_1), a^\dagger (\chi_2)]_{-\xi} = a (\chi_1) a^\dagger (\chi_2) - \xi\, a^\dagger (\chi_2) a (\chi_1) = \langle \chi_1 | \chi_2 \rangle \tag{5} ?$$

PS Ich folge diesen Hinweisen (Abschnitt 1.5) und kann nicht verstehen, was in diesem phys.SE-Beitrag gemeint ist .

Bearbeiten (28.07) : Sagen Sie$|\Psi \rangle = | \phi_1, \dots, \phi_N \rangle$. Ich habe es versucht

$$a (\chi_1) a^\dagger (\chi_2) |\Psi \rangle = \sum_k \xi^{k} \langle \chi_2 | \phi_j \rangle | \chi_1, \phi_1, \dots, \hat{\phi}_j, \dots, \phi_N \rangle + \langle \chi_1 | \chi_2 \rangle |\Psi \rangle$$

$$- \xi\, a^\dagger (\chi_2) a (\chi_1) |\Psi \rangle = - \sum_k \xi^{k} \langle \chi_1 | \phi_j \rangle | \chi_2, \phi_1, \dots, \hat{\phi}_j, \dots, \phi_N \rangle$$

Wenn ich die beiden obigen Zeilen hinzufüge, sollte ich das gewünschte Ergebnis erhalten. Es scheint, dass die Summen stornieren sollten, aber ich kann nicht herausfinden, warum.