Explizite Ausdrücke für die Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren

Question

Explizite Ausdrücke für die Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren

Physik
Betreiber
Fourier-Transformation
zweite Quantisierung
Quantenfeldtheorie
Hausaufgaben-und-Übungen

fosheimdet

Was sind die expliziten Ausdrücke für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren? $\hat{a_\vec p}$ Und $\hat{a}^{\dagger}_\vec p$ für Bosonen? Ich kann sie nirgendwo finden, da jede Quelle sie beim Quantisieren der Felder einzuführen scheint

ϕ (\vec{X}) = \int \frac{D ³ P}{(2 π) ³} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{\vec{P}}}} (\hat{A_{\vec{P}}} e^{ich \vec{P} \cdot \vec{X}} + {\hat{A}}_{\vec{P}}^{†} e^{- ich \vec{P} \cdot \vec{X}})

$\phi(\vec x) = \int \frac{d³p}{(2\pi)³} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\vec p}}} \left( \hat{a_\vec p} e^{i\vec p \cdot \vec x} + \hat{a}^{\dagger}_\vec p e^{-i\vec p \cdot \vec x}\right)$

π (\vec{X}) = \int \frac{D ³ P}{(2 π) ³} (- ich) \sqrt{\frac{ω_{\vec{P}}}{2}} (\hat{A_{\vec{P}}} e^{ich \vec{P} \cdot \vec{X}} - {\hat{A}}_{\vec{P}}^{†} e^{- ich \vec{P} \cdot \vec{X}})

$\pi(\vec x) = \int \frac{d³p}{(2\pi)³} (-i) \sqrt{\frac{\omega_{\vec p}}{2}} \left( \hat{a_\vec p} e^{i\vec p \cdot \vec x} - \hat{a}^{\dagger}_\vec p e^{-i\vec p \cdot \vec x}\right)$

Ohne ihnen einen expliziten Ausdruck zu geben. Das würde ich gerne wissen, weil ich zB zur Berechnung des Hamilton-Operators für das Klein-Gordon-Feld wissen muss, was die Vorzeichenumschaltung des Impulses bewirkt, dh was $\hat{a}_{-\vec{p}}$ Und $\hat{a}^\dagger_{-\vec{p}}$ Sind.

Knzhou

Sind diese Gleichungen an sich keine Definition von

a_{p}

$a_p$ ? Sie können die Fourier-Transformation umkehren, wenn Sie es noch expliziter haben möchten.

Knzhou

Die Deutung von

a_{k}^{†}

$a_{k}^\dagger$ für alle

k

$k$ ist, dass es ein Impulsteilchen erzeugt

k

$k$ . So wissen Sie automatisch, was

a_{- p}^{†}

$a_{-p}^\dagger$ tut, erzeugt es ein Impulsteilchen

- p

$-p$ .

Benutzer226006

Sie haben dies wahrscheinlich schon gesehen: en.wikipedia.org/wiki/… aber es ist lesenswert, insb. was die Vertauschungsbeziehungen betrifft, gegenüber Fermionen (Anti-Vertauschung), die meiner Meinung nach als Teil ihrer Definition angesehen werden könnten.

Antworten (1)

Explizite Ausdrücke für die Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren

Sind diese Gleichungen an sich keine Definition von $a_p$ ? Sie können die Fourier-Transformation umkehren, wenn Sie es noch expliziter haben möchten.
Die Deutung von $a_{k}^\dagger$ für alle $k$ ist, dass es ein Impulsteilchen erzeugt $k$ . So wissen Sie automatisch, was $a_{-p}^\dagger$ tut, erzeugt es ein Impulsteilchen $-p$ .
Sie haben dies wahrscheinlich schon gesehen: en.wikipedia.org/wiki/… aber es ist lesenswert, insb. was die Vertauschungsbeziehungen betrifft, gegenüber Fermionen (Anti-Vertauschung), die meiner Meinung nach als Teil ihrer Definition angesehen werden könnten.

Elias Riedel Garding · Answer 1

Beachten Sie, dass Sie auch schreiben können $\phi$ Und $\pi$ als

ϕ (\vec{X}) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{\vec{P}}}} (A_{\vec{P}} + A_{- \vec{P}}^{†}) e^{ich \vec{P} \cdot \vec{X}}

$\phi(\vec{x}) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\vec{p}}}} \left(a_\vec{p} + a_{-\vec{p}}^\dagger \right) e^{i\vec{p} \cdot \vec{x}}$

π (\vec{X}) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} (- ich) \sqrt{\frac{ω_{\vec{P}}}{2}} (A_{\vec{P}} - A_{- \vec{P}}^{†}) e^{ich \vec{P} \cdot \vec{X}}

$\pi(\vec{x}) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} (-i) \sqrt{\frac{\omega_{\vec{p}}}{2}} \left(a_\vec{p} - a_{-\vec{p}}^\dagger \right) e^{i\vec{p} \cdot \vec{x}}$ (Gleichungen (2.27) und (2.28) in Peskin und Schroeder). Von hier aus können Sie die Fourier-Transformation erhalten

A_{\vec{P}} + A_{- \vec{P}}^{†} = \sqrt{2 ω_{\vec{P}}} \int D^{3} X ϕ (\vec{X}) e^{- ich \vec{P} \cdot \vec{X}}

$a_\vec{p} + a_{-\vec{p}}^\dagger = \sqrt{2\omega_{\vec{p}}} \int d^3 x\, \phi(\vec{x}) e^{-i\vec{p} \cdot \vec{x}}$

A_{\vec{P}} - A_{- \vec{P}}^{†} = ich \sqrt{\frac{2}{ω_{\vec{P}}}} \int D^{3} X π (\vec{X}) e^{- ich \vec{P} \cdot \vec{X}}

$a_\vec{p} - a_{-\vec{p}}^\dagger = i\sqrt{\frac{2}{\omega_{\vec{p}}}} \int d^3 x\, \pi(\vec{x}) e^{-i\vec{p} \cdot \vec{x}}$ und das Addieren dieser ergibt

A_{\vec{P}} = \int D^{3} X (\sqrt{\frac{ω_{\vec{P}}}{2}} ϕ (\vec{X}) + \frac{ich}{\sqrt{2 ω_{\vec{P}}}} π (\vec{X})) e^{- ich \vec{P} \cdot \vec{X}}

$a_\vec{p} = \int d^3 x \left(\sqrt{\frac{\omega_\vec{p}}{2}} \phi(\vec{x}) + \frac{i}{\sqrt{2\omega_\vec{p}}} \pi(\vec{x}) \right) e^{-i\vec{p} \cdot \vec{x}}$ und dann, durch hermitische Konjugation,

A_{\vec{P}}^{†} = \int D^{3} X (\sqrt{\frac{ω_{\vec{P}}}{2}} ϕ (\vec{X}) - \frac{ich}{\sqrt{2 ω_{\vec{P}}}} π (\vec{X})) e^{ich \vec{P} \cdot \vec{X}} .

$a_\vec{p}^\dagger = \int d^3 x \left(\sqrt{\frac{\omega_\vec{p}}{2}} \phi(\vec{x}) - \frac{i}{\sqrt{2\omega_\vec{p}}} \pi(\vec{x}) \right) e^{i\vec{p} \cdot \vec{x}}.$

Mit diesen Gleichungen können Sie die Kommutierungsbeziehung explizit verifizieren $[a_\vec{p}, a_\vec{q}^\dagger] = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{q})$ . In der Praxis scheinen Sie die expliziten Ausdrücke für die Leiteroperatoren selten zu benötigen; es reicht normalerweise aus, sich an die Vertauschungsrelation zu erinnern.

Explizite Ausdrücke für die Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren

fosheimdet

Knzhou

Knzhou

Benutzer226006

Antworten (1)

Elias Riedel Garding

Ableitung des Einkörper-Hamiltonoperators in QFT

Kommutierungsbeziehungen in der zweiten Quantisierung

Ausdehnungskoeffizienten in der Lösung der Dirac-Gleichung für ein freies Teilchen

Positionsoperator in QFT

Was bedeutet die Quadratwurzel des Laplace-Operators?

Wie genau ist "normales Bestellen eines Operators" definiert?

Moduserweiterung des Feldoperators in der nichtrelativistischen QFT

Nichtabelsche globale Symmetrien, SO(N)SO(N)SO(N)-Ladungen in Bezug auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Beziehung zwischen der Fourier-Transformation und dem Fock-Raum

Positionieren Sie den Operator im Impulsraum