Moduserweiterung des Feldoperators in der nichtrelativistischen QFT

Nach David Tongs Notizen in Gl. (2.111) behauptet er, dass für einen nichtrelativistischen Körperoperator die Fourierentwicklung gegeben ist. Es macht intuitiv Sinn, aber wie kann man formal argumentieren, dass im Gegensatz zu relativistischen Ausdrücken wie 2,18 nur der positive Frequenzanteil in den Ausdruck eingeht? Oder vielleicht sollte die Frage lauten: Was ist das formale Argument dafür, dass der negative Frequenzteil im Ausdruck 2.18 vorhanden ist?

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Der entscheidende Unterschied besteht darin, dass (2.18) für ein System gilt, dessen Lagrange-Funktion und damit Bewegungsgleichung (und Lösungsmenge davon) invariant ist ϕ → ϕ ∗ , während (2.111) kein Analogon hat ψ → ψ ∗ (oder im Spinor-Fall ψ → ψ † ) Invarianz. Diese extra diskrete Symmetrie der relativistischen Feldtheorie ist der Grund, warum sie Kopfschmerzen bei negativen Frequenzen hat, und das ist letztendlich der Grund, warum eine Feldinterpretation notwendig ist, die nicht nur die Wellenfunktion eines Teilchens ist; und wie Dirac aus dem Spinor-Fall (für den er eine PDE erster Ordnung fand) erkannte, kommen Spin und Antimaterie als Konsequenz daher. Schaut man sich genau an, welche Felder (anti-)hermitesch sind, erkennt man auch die Bedeutung des Faktors von ich in der Impulsdichte von ψ .

Ich verstehe. Wie wäre es also mit komplexen relativistischen Skalarfeldern? Diese sind nicht unveränderlich unter ψ → ψ ∗ dennoch haben sie negative Modi in ihren Ausdehnungen; mehr als das - da die klassischen Felder komplex sind, sind die Operatoren nach der Quantisierung nicht hermitesch, also verwenden wir zwei verschiedene Operatoren, die nicht durch komplexe Konjugation verwandt sind, wie in Ausdruck 2.69, der schließlich die Interpretation von Teilchen und Antiteilchen liefert.
@Piotr Hier geht es nicht darum, ob die Felder selbstkonjugiert sind. es geht darum, ob im Fall des komplexen Feldes die Konjugation in der Lösungsmenge bleibt. Wenn Sie den TDSE mit der Klein-Gordon-Gleichung vergleichen, sehen Sie, dass nur die Lösungsmenge der letzteren diese Abschlussregel hat.
@JG Eigentlich mag ich deine Argumentation, da ich auch Zweifel an dieser Frage hatte. Nur ein wenig Präzision, ich denke, wenn es um den Dirac-Spinor-Fall geht, ist die Invarianz, von der Sie sprechen, wahrscheinlich ψ → ψ C Wo ψ C ist die am einfachsten definierte Ladungskonjugation ψ C = γ 2 ψ ∗
@FredericThomas Nun ja, die Dirac-Gleichung ist wieder anders.
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