Der Unterschied zwischen Projektionsoperatoren und Feldoperatoren in QFT?

Gibt es eine gute Referenz für die Unterscheidung zwischen Projektionsoperatoren in QFT mit einem Eigenwertspektrum von { 1 , 0 } , die Ja/Nein-Messungen darstellt, deren Prototyp der Vakuumprojektionsoperator ist | 0 ⟩ ⟨ 0 | , was die elementare Konstruktion einer Reihe von Projektionsoperatoren wie z

ϕ ^ F | 0 ⟩ ⟨ 0 | ϕ ^ F † ⟨ 0 | ϕ ^ F † ϕ ^ F | 0 ⟩ , ϕ ^ F ϕ ^ G | 0 ⟩ ⟨ 0 | ϕ ^ G † ϕ ^ F † ⟨ 0 | ϕ ^ G † ϕ ^ F † ϕ ^ F ϕ ^ G | 0 ⟩ ,
oder von höherem Grad; im Gegensatz zu (verschmierten) Feldoperatoren wie z ϕ ^ F , die ein kontinuierliches Eigenwertspektrum haben? Ich sehe dies als effektive Unterscheidung zwischen der S-Matrix bzw. dem Wightman-Feld als Observablen.

Ich interessiere mich besonders für alles, was den operativen Unterschied zwischen diesen verschiedenen Klassen von QFT-Observablen im Detail betrachtet. Dass die Projektionsoperatoren nichtlokal sind, liegt auf der Hand, insofern sie der Mikrokausalität eindeutig nicht genügen, im Gegensatz zu der Anforderung der Mikrokausalität für die Feldoperatoren. Es scheint auch, dass die Feldoperatoren nicht alleine verwendet werden können, um Modelle für die Detektion eines Teilchens zu konstruieren, was ein Ja/Nein-Ereignis ist, ohne den Vakuumprojektionsoperator einzuführen (aber gibt es eine Möglichkeit, Projektionsoperatoren zu konstruieren , ohne den Vakuum-Projektionsoperator? EDIT: ja, offensichtlich genug, "liegt der beobachtete Wert im Bereich [ A . . B ] " ist ein ja/nein beobachtbar, etc., etc., ... .)

Diese Projektionen haben Rang 1. Dies ist möglich, da sie nicht lokal sind und sich daher in einem Typ-I-Faktor befinden. Während lokale Projektionen im Allgemeinen in einem Faktor vom Typ III_1 sind und in diesem Fall alle Projektionen gleichwertig sind.
Ziemlich dicht, aber ziemlich hilfreich, danke!
@Marcel Der Vakuumzustand über der Wightman * -Algebra unbeschränkter Operatoren ermöglicht also die GNS-Konstruktion eines Hilbert-Raums H , und so einer W* -Algebra beschränkter Observablen B ( H ) . Diese Algebra ist ein Typ III 1 Faktor. Hinzufügen des (begrenzten) Vakuumprojektionsoperators zur Algebra der Observablen, der nichtlokal, aber natürlich ist, sofern die GNS-Konstruktion einen Vakuumvektor bereitstellt H (und die implizit ist, wenn wir eine Übergangswahrscheinlichkeit verwenden, das heißt für sehr viele empirisch erfolgreiche Anwendungen von QFT), konvertiert diesen Typ III 1 Faktor in einen Typ-I-Faktor?
Die von einer lokalen Algebra erzeugte W*-Algebra und die Projektion auf den Vakuumvektor sollten alle sein B ( H ) denn durch Reeh-Schlieder werden Sie zu allen endlichen Rangprojektionen.

Antworten (1)

Es ist schwierig, Ihre Frage zu beantworten, da sie keinen klaren Fokus hat.

Projektionsoperatoren spielen in der QFT kaum eine Rolle, da das Messproblem in diesem Zusammenhang äußerst selten diskutiert wird. Ihre Projektionsoperatoren sind sogar noch spezieller, da sie alle den Rang 1 haben. Um Projektionsoperatoren zu konstruieren, nehmen Sie eine beliebige Observable (z. B. ein verschmiertes hermitisches Feld) und integrieren ihr spektrales Projektionsmaß über ein Intervall. Ansonsten ist die Interpretation von Projektionsoperatoren identisch mit der Quantenmechanik.

Die S-Matrix (obwohl das wichtigste beobachtbare Objekt in QFT) ist keine Observable in dem Sinne, wie dieser Begriff in QM verwendet wird, da sie eher einheitlich als hermitesch ist. Außerdem hat die Messung eines aus der S-Matrix abgeleiteten Streuquerschnitts nichts mit der in den Grundlagen der QM diskutierten Art der Messung zu tun.

Dasselbe gilt für andere messbare Folgen der QFT wie die Lamb-Verschiebung, Felderwartungen (die zu hydrodynamischen Gleichungen führen) oder Feldkorrelationen (die zu kinetischen Gleichungen führen).

Daher hat QFT sehr wenig Verwendung für Diskussionen über die Messung von „Observables“ im Sinne des Lehrbuchs.

Ich erreiche selten "Fokus", leider. Übergangswahrscheinlichkeiten verwenden den Vakuumprojektionsoperator: zB. A ^ = ψ ^ F † | 0 ⟩ ⟨ 0 | ψ ^ F im Staat gemessen ω ( A ^ ) = ⟨ 0 | ψ ^ G A ^ ψ ^ G † | 0 ⟩ (unter der Annahme geeigneter Normalisierungen) ist die allgegenwärtige Übergangswahrscheinlichkeit | ⟨ 0 | ψ ^ G ψ ^ F † | 0 ⟩ | 2 . Falls gewünscht, S-Matrix einfügen. Wir können Projektionsoperatoren von beliebigem endlichem Rang konstruieren, indem wir Mischungen solcher Observablen verwenden, oder von unendlichem Rang, wenn wir Vervollständigung in der Operatornorm zulassen. Hoffentlich hilft das?
Ich verstehe. Sie behandeln die S-Matrix also nicht als beobachtbar, wie Sie geschrieben haben, sondern setzen sie aus vielen verschiedenen Observablen zusammen, eine für jeden Streuzustand. Dann ist dies vielleicht der Unterschied, nach dem Sie gefragt haben - ein verschmierter Feldoperator ist eine einzelne Observable (obwohl man normalerweise nur seinen Ensemblemittelwert oder seine Korrelationen beobachtet, keine Realisierung wie im Fall eines Projektionsoperators). --- "der operative Unterschied zwischen diesen verschiedenen Klassen von QFT-Observablen im Detail" - können Sie das bitte näher erläutern? welche antwort erwartest du?
Ihr Kommentar → +1. Danke. Eine verschmierte Feldobservable ist immer als Summe anderer verschmierter Feldobservablen darstellbar. Die Operatorwertverteilung ψ ^ ( X ) ist nicht, aber es ist auch unangemessen. Entschuldigung, ich bin mir noch nicht sicher, wie ich die Frage präzisieren soll. Die S-Matrix ist einheitlich, aber dennoch mehr oder weniger die wichtigste Beobachtungsgröße in der QFT, insofern die S-Matrix die "Evolution" von Übergangswahrscheinlichkeiten beschreibt. Soweit ich Erwartungen an die Art der Antwort habe, sind es Vorurteile. Ich denke, Sie könnten Recht haben, dass Ihr Kommentar eine Art Antwort enthält.
Ich habe eine etwas abweichende Sichtweise, die nicht dem Mainstream entspricht, da mir aufgefallen ist, dass die Lehrbuchdefinition von Quantenmessungen und Observablen nur einen winzigen Bruchteil der tatsächlichen Messungen abdeckt und daher ziemlich irreführend ist. Es hat eine Weile gedauert, bis ich meine eigene konstruktive Version gefunden habe. Siehe Kapitel 10 (insbesondere Abschnitte 10.4/5) meines Buches lanl.arxiv.org/abs/0810.1019
Der Unterschied zwischen Projektionsoperatoren und Feldoperatoren in QFT?
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