Was sind die orthogonalen Eigenzustände des Feldoperators?

Question

Was sind die orthogonalen Eigenzustände des Feldoperators?

Physik
Betreiber
beobachtbar
Hilbert-Raum
Fourier-Transformation
Quantenfeldtheorie

Jasmeru

In Peskin & Schroeder Abschnitt 9.2 leiten sie die Zweipunktfunktion im Pfadintegralformalismus ab:

⟨ Ω | T {\hat{ϕ} (X_{1}) \hat{ϕ} (X_{2})} | Ω ⟩

$\langle \Omega | \mathcal{T} \left\{ \hat{\phi}(x_1)\hat{\phi}(x_2)\right\} | \Omega \rangle$

\begin{matrix} (9.18) & = \frac{\int D ϕ ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) e^{ich \int D^{4} X L}}{\int D ϕ e^{ich \int D^{4} X L}} . \end{matrix}

$= \frac{\int \mathcal{D}\phi \ \phi(x_1) \phi(x_2) e^{ i\int d^4 x\ \mathcal{L} }}{\int \mathcal{D}\phi \ e^{ i\int d^4 x\ \mathcal{L} }}. \tag{9.18}$

Der Trick, um dies abzuleiten, besteht darin, die Identität einzufügen

1 = \int D ϕ | ϕ ⟩ ⟨ ϕ |

$1 = \int \mathcal{D}\phi\ |\phi\rangle \langle \phi|$

zwischen den Betreibern $\hat{\phi}(x_i)$ . Dann können wir den Operator für reguläre Funktionen ändern mit:

\hat{ϕ} (X_{ich}) | ϕ_{ich} ⟩ = ϕ (X_{ich}) | ϕ_{ich} ⟩ .

$\hat{\phi}(x_i) |\phi_i\rangle = \phi(x_i) |\phi_i\rangle.$

Meine erste Frage ist: Was sind die Zustände, die die vollständige orthogonale Basis bilden? $|\phi\rangle$ ? Die Autoren scheinen es nie zu spezifizieren. Es kann nicht irgendeine vollständige orthogonale Basis sein, da diese Zustände Eigenzustände des Feldoperators zu sein scheinen

\begin{matrix} (2.25+47) & \hat{ϕ} (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{P}}} ({\hat{A}}_{P} e^{ich P \cdot X} + {\hat{A}}_{P}^{†} e^{- ich P \cdot X}) . \end{matrix}

$\hat{\phi}(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_p}}(\hat{a}_p e^{i p\cdot x} + \hat{a}_p^\dagger e^{-i p\cdot x}).\tag{2.25+47}$

Soweit ich weiß, die Staaten $|\phi\rangle$ stellen alle möglichen klassischen Feldkonfigurationen dar (klassisch wie wohldefiniert an allen Punkten im Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt, ohne Unsicherheit), über die wir zwischen zwei Grenzzuständen integrieren. Aber ich sehe nicht, wie diese klassischen Zustände die Eigenzustände von sind $\hat{\phi}(x)$ . Gibt es einen einfachen Ausdruck für $|\phi\rangle$ in Bezug auf zB Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren?

Eigentlich stört mich, dass Eigenzustände des Feldoperators kohärente Zustände sein sollen, die eine übervollständige Menge bilden. Das heißt, wenn die $|\phi\rangle$ s kohärente Zustände sind, können wir die Identität nicht als obige Kombination schreiben, da die Zustände nicht orthogonal sind (siehe Abschnitt 8.1.3 dieses Dokuments ). Meine zweite Frage ist: Ist es möglich, dass kohärente Zustände die Eigenzustände einer anderen Art von "Feldoperator" sind, nicht der obigen? Wenn ja, was ist dieser andere Operator? ( Gelöst: siehe Bearbeitung unten ) Beachten Sie, dass sie im angegebenen Link den Operator nicht zu definieren scheinen, für den der kohärente Zustand ein Eigenzustand ist.

(Verwandt: 148200 und 109343 . Die Antwort im ersten Link beantwortet nicht wirklich die Frage "was ist $|\phi\rangle$ ?" und der zweite Link erwähnt nur kohärente Zustände, die, wie ich erwähnt habe, nicht orthogonal sind und daher nicht die Zustände sein können, die in der Ableitung von Peskin & Schroeder verwendet werden)

BEARBEITEN: Wie @Mane.andrea in den Kommentaren vorgeschlagen hat, habe ich Abschnitt 4.1 der Condensed Matter Field Theory von Altland & Simons überprüft . Es scheint, dass sie den kohärenten Zustand als den Eigenzustand der Vernichtungsoperatoren definieren $\hat{a}_i$ speziell, dh der positive Frequenzteil des obigen Feldes. Die Antwort auf meine zweite Frage scheint also Ja zu sein , kohärente Zustände sind die Eigenzustände eines anderen "Feldoperators".

MannyC

Ist Orthogonalität für den Beweis notwendig? Oder nur Vollständigkeit? Denn wenn ja, ist eine übervollständige Basis kein Problem, denke ich. Siehe auch Abschnitt 4.1 von Altland Simons: Condensed Matter Field Theory. Sie diskutieren kohärente Zustände.

Jasmeru

Orthogonalität ist notwendig, um die obige Standardformulierung des Pfadintegrals zu erhalten. Das Einfügen der Identität in Bezug auf kohärente Zustände führt zu zusätzlichen Faktoren und dem sogenannten "kohärenten Zustandspfadintegral", das für fermionische Felder wichtig ist. Siehe meinen ersten Link als Referenz.

Kosmas Zachos

Verwandte und weiter .

Jasmeru

Die Antwort auf meine erste Frage scheint das Ergebnis des OP im ersten Link von @CosmasZachos zu sein, danke. Möchtest du eine Antwort schreiben, damit ich sie akzeptieren kann?

Quantenpeitsche

@MannyC warum wäre eine übervollständige Basis kein Problem? Die ganze Interpretation von Wahrscheinlichkeitsamplituden hängt von dieser Tatsache ab.

Antworten (1)

Was sind die orthogonalen Eigenzustände des Feldoperators?

Ist Orthogonalität für den Beweis notwendig? Oder nur Vollständigkeit? Denn wenn ja, ist eine übervollständige Basis kein Problem, denke ich. Siehe auch Abschnitt 4.1 von Altland Simons: Condensed Matter Field Theory. Sie diskutieren kohärente Zustände.
Orthogonalität ist notwendig, um die obige Standardformulierung des Pfadintegrals zu erhalten. Das Einfügen der Identität in Bezug auf kohärente Zustände führt zu zusätzlichen Faktoren und dem sogenannten "kohärenten Zustandspfadintegral", das für fermionische Felder wichtig ist. Siehe meinen ersten Link als Referenz.
Die Antwort auf meine erste Frage scheint das Ergebnis des OP im ersten Link von @CosmasZachos zu sein, danke. Möchtest du eine Antwort schreiben, damit ich sie akzeptieren kann?
@MannyC warum wäre eine übervollständige Basis kein Problem? Die ganze Interpretation von Wahrscheinlichkeitsamplituden hängt von dieser Tatsache ab.

Jasmeru · Answer 1

Ich glaube, ich habe mit Hilfe der Links von @CosmasZachos eine Lösung gefunden. Der von OP hier angegebene Zustand schien nicht genau meiner Definition des Feldoperators zu entsprechen. Meine Vermutung ist, weil es aus dem Schrödinger-Wellenfunktionalismus stammt. Ich bin mir bei meiner Antwort nicht ganz sicher und habe nichts Vergleichbares im Internet gefunden. Wenn also jemand dies überprüfen könnte, wäre ich dankbar.

Lassen Sie uns unsere Operatoren sorgfältig definieren:

\hat{ϕ} (X) = {\hat{ϕ}}_{+} (X) + {\hat{ϕ}}_{-} (X),

$\hat{\phi}(x) = \hat{\phi}_+(x) + \hat{\phi}_-(x),$

Wo

{\hat{ϕ}}_{+} (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{P}}} {\hat{A}}_{P} e^{- ich P \cdot X}; {\hat{ϕ}}_{-} (X) = {({\hat{ϕ}}_{+} (X))}^{†} .

$\hat{\phi}_+(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_p}}\hat{a}_p e^{-i p\cdot x};\quad \hat{\phi}_-(x) = \left(\hat{\phi}_+(x)\right)^\dagger.$

Es ist nützlich, das Momentum einzuführen:

\hat{π} (X) = \frac{\partial \hat{ϕ} (X)}{\partial T} = {\hat{π}}_{+} (X) + {\hat{π}}_{-} (X),

$\hat{\pi}(x) = \frac{\partial\hat{\phi}(x)}{\partial t } = \hat{\pi}_+(x)+\hat{\pi}_-(x),$

Wo

{\hat{π}}_{+} (X) = - ich \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \sqrt{\frac{E_{P}}{2}} {\hat{A}}_{P} e^{- ich P \cdot X}; {\hat{π}}_{-} (X) = {({\hat{π}}_{+} (X))}^{†} .

$\hat{\pi}_+(x) = -i \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \sqrt{\frac{E_p}{2}}\hat{a}_p e^{-i p\cdot x};\quad \hat{\pi}_-(x) = \left(\hat{\pi}_+(x)\right)^\dagger.$

Die zeitgleichen kanonischen Kommutierungsrelationen sind:

[\hat{ϕ} (\vec{X}), \hat{π} (\vec{j})] = ich δ^{(3)} (\vec{X} - \vec{j}) [{\hat{A}}_{\vec{P}}, {\hat{A}}_{\vec{Q}}^{†}] = (2 π)^{3} δ^{(3)} (\vec{P} - \vec{Q}) .

$[\hat{\phi}(\vec{x}),\hat{\pi}(\vec{y})] = i \delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})\qquad [\hat{a}_\vec{p},\hat{a}_\vec{q}^\dagger] = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}).$

Von diesen können wir finden:

[\hat{ϕ} (X)_{+}, {\hat{π}}_{-} (j)] = \frac{ich}{2} δ^{(3)} (\vec{X} - \vec{j}); [{\hat{ϕ}}_{+} (\vec{X}), {\hat{ϕ}}_{-} (\vec{j})] = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 E_{P}} e^{ich \vec{P} \cdot (\vec{X} - \vec{j})} .

$[\hat{\phi}(x)_+,\hat{\pi}_-(y)] = \frac{i}{2}\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y}); \qquad [\hat{\phi}_+(\vec{x}),\hat{\phi}_-(\vec{y})] = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_p}e^{i\vec{p}\cdot(\vec{x}-\vec{y})}.$

Beachten Sie, dass die letzte Beziehung keine Dirac-Delta-Funktion ist (sie ist tatsächlich der Propagator des Felds), weshalb der von OP im obigen Link angegebene Zustand kein Eigenzustand des hier definierten Feldoperators ist.

Tatsächlich glaube ich, durch Versuch und Irrtum einen Zustand gefunden zu haben $|\phi\rangle$ das befriedigt $\hat{\phi}(x)|\phi\rangle = \phi(x)|\phi\rangle$ (wieder, fühlen Sie sich frei, es noch einmal zu überprüfen):

| ϕ ⟩ \equiv N \exp {ich \int D^{3} j ({\hat{ϕ}}_{-} (j) - 2 ϕ (j)) {\hat{π}}_{-} (j)} | 0 ⟩,

$|\phi\rangle \equiv \mathcal{N} \exp\left\{i\int d^3y\ \left(\hat{\phi}_-(y) - 2 \phi(y)\right)\hat{\pi}_-(y)\right\}|0\rangle,$

Wo $\mathcal{N}$ ist ein Normalisierungsfaktor (den ich nicht berechnet habe). Ich bin mir nicht einmal sicher, ob diese Zustände orthogonal sind, aber zumindest weiß ich, wie ein Eigenzustand des Feldoperators aussehen könnte.

Um auch meine zweite Frage zu beantworten, denke ich, dass kohärente Zustände als Eigenzustände des Feldoperators mit positiver Frequenz definiert sind $\hat{\phi}_+(x)$ nur (der Teil, der die Vernichtungsoperatoren enthält). Man sollte darauf achten, die beiden Operatoren nicht zu verwechseln. Außerdem habe ich durch meine Recherchen festgestellt, dass sich einige Referenzen nur mit kohärenten Zuständen oder Feldeigenzuständen in einer nicht-relativistischen Theorie oder dem Schrödinger-Wellenfunktionsformalismus befassen, wobei die Definitionen von der Konvention von Peskin & Schroeder abweichen können.

Ja, Sie sind im Wesentlichen auf dem richtigen Weg. Wenn Sie nicht kohärente Zustände (Exponent linear in Feldern) verwenden, sondern echte Eigenzustände der vollständigen Felder, benötigen Sie quadratische Exponenten in den Feldern. Ich kann nicht für Ihre Normalisierungen (und das Unkonventionelle) bürgen $\pm$ -Inversion von Feldstücken, aber Sie sind "warm", breit. Abschnitt 14.2.3 des Standardbuchs von M. Schwarz arbeitet alles aus, insbesondere Gleichung (14.19-14.22) und Fußnote: Ihr letzter Absatz. Ich dachte, Sie würden sein Problem 14.4 bearbeiten, weshalb ich Sie zu diesen Schiedsrichtern geschickt habe, aber Sie rekonstruieren es offensichtlich.
Ich habe überprüft, dass Ihre Zustände Eigenzustände sind. Außerdem habe ich die Impuls-Eigenzustände gefunden $|\Pi\rangle$ was mit einem zusätzlichen Minuszeichen im Exponenten und gleich sein sollte $\phi \leftrightarrow \pi$ . Ich versuche jetzt, die Beziehung zu erhalten $\langle\Phi | \Pi \rangle = \exp(-i\int d^3x \Phi \Pi)$ , aber es gelingt mir nicht. Nehmen diese Zustände an, diese Beziehung zu erfüllen? Oder habe ich mich bei meiner Berechnung vertan?
Sind Sie mit der Frage, ob diese Zustände orthogonal sind, weiter gekommen?

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Jasmeru

MannyC

Jasmeru

Kosmas Zachos

Jasmeru

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Kosmas Zachos

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