Was sind hermitesche Operatoren in QFT?

In dieser Antwort erklärt Lubos, dass es in der Quantenfeldtheorie lineare hermitische Operatoren gibt, die Observablen darstellen.

Quantenfeldtheorien sind eine Untergruppe der quantenmechanischen Theorien. Sie gehorchen also allen Postulaten der Quantenmechanik, sie haben den Hilbert-Raum, lineare hermitische Operatoren, dh Observablen, gehorchen den Superpositionsprinzipien, berechnen Wahrscheinlichkeiten aus quadrierten Absolutwerten komplexer Amplituden und so weiter.

  1. In der QM sind alle dynamischen Variablen Position, Impuls, Drehimpuls usw. auch hermitesche Operatoren und Observablen.

Aber in QFT sind alle dynamischen Variablen nicht hermitesch. Bei der Quantisierung einer klassischen Feldtheorie ist nicht klar, welche Variablen zu hermiteschen Operatoren befördert werden und welche nicht. Zum Beispiel für komplexe Skalarfelder der Feldoperator ϕ ^ ( X , T ) ist nicht hermitesch, aber der Hamiltonoperator ist es. Der Zahlenoperator ist hermitesch. Was ist die allgemeine Regel? Welche Objekte werden zum hermiteschen Operator hochgestuft?

  1. Was sind Observables in QFT? Sollen wir sagen, dass der Hamiltonoperator oder der Zahlenoperator usw. die Observablen oder die Streuamplituden, Zerfallsraten usw. die Observablen sind? Im letzteren Fall sind sie mit keinerlei Operatoren verbunden.

  2. In der Quantenmechanik gibt es verschiedene hermitische Operatoren, die im Hilbert-Raum zugrunde liegen. Aber in der QFT scheinen die Zahlenoperatoren die einzigen Operatoren zu sein, deren Eigenzustände von einer Basis stammen (auch das in der freien Theorie). Ist das korrekt?

  3. Kann der Feldimpuls als hermitesch (und beobachtbar) betrachtet werden und bilden daher seine Eigenzustände eine kontinuierliche Basis wie in der QM?

Hinweis: Es gibt kein "klassisches komplexes Skalarfeld". Die Vorstellung von zwei reellen Skalarfeldern als ein komplexes Feld ist eine Umformulierung, die die theoretische Behandlung erleichtert, aber nichts an der Tatsache ändert, dass die "fundamentalen" dynamischen Variablen reellwertige Felder sind. Diese Feinheit bei der Quantisierung komplexer Skalarfelder wird hier ebenfalls diskutiert .

Antworten (1)

Was ist die allgemeine Regel? Welche Objekte werden zum hermiteschen Operator hochgestuft?

Die allgemeine Regel lautet: Wenn die klassische Variable reell ist, ist der Quantenoperator hermitesch.

Was sind Observables in QFT? Sollen wir sagen, dass der Hamiltonoperator oder der Zahlenoperator usw. die Observablen oder die Streuamplituden, Zerfallsraten usw. die Observablen sind?

Wenn Sie mit beobachtbar "etwas, das beobachtet werden kann" meinen, dann sind die letzteren beobachtbar, während die ersteren es nicht sind. Aber im Allgemeinen, wenn man im Zusammenhang mit QM von beobachtbar spricht, dann meint man normalerweise "einen hermiteschen Operator", wobei erstere Observable sind und letztere nicht.

Im letzteren Fall sind sie mit keinerlei Operatoren verbunden.

Streuamplituden (für die die Zerfallsrate nur ein Beispiel ist) sind dem zugeordnet S Matrixoperator, der nicht hermitesch, sondern unitär ist.

In der Quantenmechanik gibt es verschiedene hermitische Operatoren, die im Hilbert-Raum zugrunde liegen. Aber in der QFT scheinen die Zahlenoperatoren die einzigen Operatoren zu sein, deren Eigenzustände von einer Basis stammen (auch das in der freien Theorie). Ist das korrekt?

Nein, es ist nicht richtig. Im Allgemeinen wird der vollständige Satz von kommutierenden Operatoren von den Übersetzungsgeneratoren gebildet P μ , die Casimir-Operatoren der Poincaré-Algebra, die Generatoren interner Symmetrien (z. B. der Ladungsoperator, der nur der Zahlenoperator mit einer komischen Normalisierung ist) usw. Dass diese Menge endlich ist, ist eine der Arbeitshypothesen jedes axiomatischen Ansatzes zu QFT.

Kann der Feldimpuls als hermitesch (und beobachtbar) betrachtet werden und bilden daher seine Eigenzustände eine kontinuierliche Basis wie in der QM?

Wenn Sie mit Feldimpuls meinen P μ , dann ja (wie im vorigen Punkt). Wenn du meinst π ( X ) , dann im Allgemeinen nein (siehe Physikalische Interpretation kanonisch konjugierter Impulse in der Feldtheorie ) für weitere Details).

Ihr vorletzter Absatz kommt mir seltsam vor (weil ich nicht verstehe, was "es gibt verschiedene hermitische Operatoren, die im Hilbert-Raum eine Basis bilden" zunächst bedeuten soll). Versuchen Sie zu sagen, dass die von Ihnen aufgelisteten Operatoren einen vollständigen Satz pendelnder Observablen bilden , dh ihre gemeinsamen Eigenzustände ergeben eine Eigenbasis ohne Entartung?
@ACuriousMind ja, genau das meinte ich.
@AccidentalFourierTransform Der Grund, warum Operatoren in QM hermitesch sind, ist, dass ihre Eigenwerte real sind. Jede messbare Größe sollte real sein. Aber in QFT sehen wir etwas, das nicht messbar ist, auch hermitesch (aus irgendeinem vagen Grund).
@AccidentalFourierTransform Der folgende Teil der Antwort scheint überhaupt nicht korrekt zu sein: " Die allgemeine Regel lautet, dass der Quantenoperator hermitesch ist, wenn die klassische Variable reell ist ". Gegenbeispiel: Stellung X ist eine klassische reelle Variable, aber was ist der entsprechende hermitische Operator in QFT? Man kann in QFT keine Teilchenposition messen.
@MikhailSkopenkov In der Feldtheorie - ob klassisch oder quantenmechanisch - sind die Phasenraumvariablen Felder, keine Positionen, daher ist Ihre Frage bedeutungslos. Bei der kanonischen Quantisierung ersetzen wir Operatoren durch kanonische Variablen, und wenn die erstere reell ist, ist die letztere hermitesch, ohne Ausnahme. In der Quantenfeldtheorie gibt es keinen der Position entsprechenden Operator, gerade weil es in der klassischen Feldtheorie keine der Position entsprechende Phasenraumvariable gibt. Die Behauptung, die ich in der Post mache, steht in keinem Zusammenhang mit der Nichtexistenz eines Positionsoperators: Wir quantifizieren keine Position.
@AccidentalFourierTransform Stimme Ihrem Kommentar zu, aber dies ist nur eine Möglichkeit, QFT anzuzeigen. Zum Beispiel appelliert QFT an „Amplituden eines Teilchens, von dem aus es sich fortpflanzt ( X 0 , T 0 ) Zu ( X 1 , T 1 ) . Hier X 1 (Und X 0 ) ist eine Stelle. Aber es gibt keine Möglichkeit, diese Position zu messen, und keinen entsprechenden hermiteschen Operator! Denken Sie nur an einen bodenständigen Menschen, der Ihre Antwort liest.
Was sind hermitesche Operatoren in QFT?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 1v