Ist die Operator-Zustands-Korrespondenz ein Axiom oder ein Theorem?

Es hängt von Ihren Ansichten ab, denke ich. Es gibt eine Ableitung der Operator-Zustands-Korrespondenz vom Pfadintegral, siehe z. B. TASI -Unterrichtsunterlagen . Das ist gut, wenn Sie intuitiv verstehen, was Staaten und lokale Operatoren sind.

Es gibt eine axiomatischere Sichtweise. Sie fragen, woher wir wissen, was der Hilbert-Zustandsraum in einer QFT ist, wenn wir nicht wissen, was der Hamilton-Operator ist. Nehmen wir zunächst einmal an, dass es einen eindeutigen Vakuumzustand gibt, der unter allen Symmetrien unveränderlich ist, nennen wir ihn$|0\rangle$. Da wir über eine QFT sprechen, nehmen wir an, dass es ein echtes Skalarfeld gibt$\phi(x)$. Wir können dann anfangen, neue Zustände zu bilden, indem wir damit auf das Vakuum einwirken,

$$\phi(x_1)|0\rangle,\quad \phi(x_1)\phi(x_2)|0\rangle,\quad\ldots$$ Ein unmittelbares Problem besteht darin, dass diese Zustände nicht normalisierbar sind, da die Norm beispielsweise der erste Zustand ist $\langle0|\phi(x)\phi(x)|0\rangle$, bei der es sich um eine Zwei-Punkt-Funktion an zusammenfallenden Punkten handelt, die schlecht definiert ist. (Angenommen, Sie wissen in CFT sofort, dass dies unendlich ist. Beachten Sie auch, dass ich hier eine normale Lorenzsche QFT durchführe, keine radiale Quantisierung.)

Um dieses Problem zu beheben, betrachtet man Zustände

$$\int d^dx_1 f(x_1)\phi(x_1)|0\rangle,\quad \int d^dx_1 d^dx_2 f(x_1,x_2)\phi(x_1)\phi(x_2)|0\rangle,\quad\ldots$$ wo $f$sind Schwartz-Testfunktionen. Diese Zustände haben endliche Normen. $\mathcal{H}_0$der Hilbert-Raum von Zuständen sein, die auf diese Weise erzeugt werden können (beachten Sie, dass sie nicht alle linear unabhängig sind; ihre inneren Produkte werden durch Korrelationsfunktionen berechnet). Man kann dies für den Hilbert-Zustandsraum halten, wenn man nur an Korrelationsfunktionen lokaler Operatoren interessiert ist. Wenn es nicht lokale Betreiber gibt, kann es andere Sektoren geben, dies hängt stark davon ab, wie Sie Ihre Theorie definieren.

Oben haben wir gerade verwendet$\phi$und dies wird eine Theorie eines echten Skalarfeldes sein, allgemeiner können Sie alle lokalen Operatoren verwenden, die Sie haben, um neue Zustände zu erstellen. Wichtig ist jedoch, dass Sie nicht alle lokalen Operatoren benötigen, um alle Zustände zu erstellen, da Sie mit einem Operator mehrfach agieren können.

Dies definiert den Zustandsraum. Die Definition des Raums lokaler Operatoren ist etwas schwierig. Insbesondere benötigen Sie einen Vollständigkeitsbegriff für die Menge der lokalen Operatoren. Ich denke, die richtige Anforderung ist, dass Ihr Set die Operatoren enthält, mit denen Sie die Zustände definiert haben (z$\phi$im obigen Beispiel) und dass es unter einer asymptotischen OPE-Entwicklung abgeschlossen ist. Mit dieser Definition können Sie in CFT beweisen , dass diese OPE-Erweiterungen tatsächlich im Vakuum konvergieren und somit alle oben genannten Zustände durch die OPE auf Zustände reduziert werden können, die von einem einzigen lokalen Operator aus Ihrem vollständigen Satz erstellt wurden. Dadurch können Sie die Operator-Zustands-Korrespondenz von Wightman-Axiomen + asymptotischem OPE beweisen.