Tachyon-Vertexoperator (Polchinskis Buch)

Als erstes möchte ich folgendes klären:

$$\left[\hat{p}^{\mu},\exp(ikx)\right]=\left[\hat{p}^{\mu},\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(ik\hat{x})^{n}\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left[\hat{p}^{\mu},(ik\hat{x})^{n}\right]$$ Wie wir sehen können, z $n=0$, $\left[\hat{p}^{\mu},(ik\hat{x})^{n}\right]$gibt Null. In den folgenden Fällen werde ich also das Problem für den Fall lösen, in dem n nicht Null ist. $$\left[\hat{p}^{\mu},(ik\hat{x})\right]=ik_{\nu}\left[\hat{p}^{\mu},\hat{x}^{\nu}\right]=k^{\mu}$$ $$\left[\hat{p}^{\mu},(ik\hat{x})^{n}\right]=nk^{\mu}(ik\hat{x})^{n-1}$$ Ersetzen Sie nun diese Ergebnisse in der ersten Gleichung: $$\left[\hat{p}^{\mu},\exp(ikx)\right]=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}k^{\mu}(ik\hat{x})^{n-1}=k^{\mu}\exp(ik\hat{x})$$ Ein zweiter Punkt ist folgender: $$\hat{p}^{\mu}\exp(ik\hat{x})|0,0>=\exp({ik\hat{x}})\hat{p}^{\mu}|0,0>+k^{\mu}\exp({ik\hat{x}})|0,0>$$ $$\hat{p}^{\mu}\exp(ik\hat{x})|0,0>=k^{\mu}\exp({ik\hat{x}})|0,0>$$ Jetzt möchte ich den Staat identifizieren $\exp(ik\hat{x})|0,0>$als $|0,k>$, aus offensichtlichen Gründen.

Abschließend schrieb Polchinski in seinem Buch Folgendes:

Jeder Staat kann von abgerufen werden$|0,0>$indem Sie mit den Betreibern zusammenarbeiten$\alpha^{\mu}_{-m},\tilde{\alpha}^{\mu}_{-m},x^{\mu}_{0}$. Der diesem Zustand entsprechende Operator ist dann gegeben durch das : : normalgeordnete Produkt der entsprechenden lokalen Operatoren.
Die entsprechenden Operatoren stehen auf dem Buch, was Sie nur wissen müssen, um dieses Problem zu lösen, ist der entsprechende Operator für$x^{\mu}_{0}$Ist$X^{\mu}(0,0)$.

Daher ist der entsprechende Betreiber an den Staat$|0,k>$Ist$:e^{ikX(0,0)}:$

Polchinski erläutert die Zustands-Operator-Korrespondenz in Abschnitt 2.8, insbesondere die Gleichungen 2.8.3, 2.8.4 und 2.8.9.

Was Sie "höhere Scheitelpunktoperatoren" nennen, erzeugt mehrere Partikel (wenn es mehrere exponentielle Scheitelpunktoperatoren gibt) mit höherem Spin (wenn es zusätzliche Ableitungen gibt, die die Exponentiale multiplizieren).