Definition einer CFT mit Beta-Funktionen

Wäre es nicht richtig, eine CFT als QFT zu definieren, so dass die Beta-Funktion aller Kopplungen verschwindet?

Aber könnte es nicht möglich sein, dass die Beta-Funktion einer dimensionellen Kopplung verschwindet, aber bei einem Wert ungleich Null - dann wird die Skaleninvarianz nicht erzeugt, obwohl der Renormierungsfluss gestoppt wird? Ist das möglich?

(.. es ist offensichtlich wahr, dass eine Theorie ohne intrinsische Skala oder dimensionslosen Parameter immer noch keine CFT sein kann - so wie eine marginale Verformung einer CFT möglicherweise keine CFT bleibt und dieser Verformungsparameter dann zu einem festen Punkt für fließen muss eine neue CFT, die bei diesem Festpunktwert der Grenzkopplung erzeugt werden soll.)

Betrachten Sie eine 4d-Theorie mit einer Yukawa-Kopplung und a ϕ 4 Wechselwirkung für den Skalar. Dies hat IR-Fixpunkte für einen bestimmten Wert von λ G 2 , und die beiden Kopplungen können ungleich Null sein.
@Siva Was ist deine Definition von λ Und G ? Und wie passt Ihr Beispiel zu dem Typ, den ich suche? Ich würde denken, dass in Ihrer vorgeschlagenen Theorie alle Wechselwirkungen immer noch marginal sind. (siehe hier - physical.stackexchange.com/questions/62070/… )
Die Kopplungen werden in der Lagrangian durch die folgenden Begriffe definiert: λ ϕ 4 Und G ϕ ψ ψ . Sie haben gefragt, ob es eine Theorie mit Betafunktionen geben kann, die Null sind (dh Kopplungen sind fest und werden nicht renormiert), aber die Kopplungen sind nicht Null. Ich habe dafür ein Beispiel gegeben. Dieses Beispiel hat im Wesentlichen N = 1 SUSY (im Hintergrund versteckt), das den Skalar und das Fermion in Beziehung setzt (und Sie müssen sich dessen nicht einmal bewusst sein), was Ihnen einen solchen Fixpunkt gibt. Und ja, in meinem Beispiel sind alle Wechselwirkungen marginal.
@Siva Genau mein Punkt - dass es NICHT überraschend ist, wenn der RG-Fluss einer Randkopplung einen Fixpunkt ungleich Null hat. Das Problem ist sehr interessant (und nicht intuitiv!), Wenn es bei nicht-marginalen Kopplungen passiert - das habe ich in meiner Frage gefragt.
Oh, es tut mir sehr leid. Den Teil habe ich falsch verstanden.

Antworten (1)

Ihre Definition ist ziemlich gut und funktioniert fast immer. Ich bin mir ziemlich sicher, dass es in 2D genau richtig ist. Sie werden es tatsächlich in einigen Vorlesungsunterlagen finden. Denken Sie daran, dass eine Theorie konform ist, wenn die Spur des Spannungstensors verschwindet: T ≡ T μ μ = 0. Tatsächlich gibt es ein Volkstheorem, das dies besagt

T = ∑ β ICH Ö ICH

wobei die Summe über diese Operatoren läuft Ö ICH in der Theorie mit ihren Beta-Funktionen β ICH (bis zu den Termen, die die konforme Anomalie im gekrümmten Raum erzeugen).

Dies ist jedoch nicht ganz richtig, und es gibt wichtige Klassen von Gegenbeispielen, in denen zusätzliche Begriffe vorkommen. In letzter Zeit haben diese Beispiele zu einiger Verwirrung in der Literatur geführt (bei der Suche nach Skalen-, aber nicht konforminvarianten Theorien). All dies ist jetzt gut verstanden und ein guter Ausgangspunkt für Ihr Studium wäre 1204.5221 [hep-th].

Bearbeiten: Vergessen Sie nicht, dass Operatordimensionen nicht geschützt sind und sich unter dem RG-Fluss ändern.

Wenn Sie "T = 0" sagen, was denken Sie über die übliche konforme Anomalie, die proportional zur skalaren Krümmung ist? Was genau meinst du mit "Gegenbeispiele mit Zusatzbegriffen"? Sie sind Gegenbeispiele wozu? Und können Sie auf diese Behauptung "T=\sum \beta_I O_I" verweisen? Kann man beweisen, dass eine Theorie, wenn sie an einer Null aller ihrer Beta-Funktionen sitzt, notwendigerweise konforme Invarianz hat?
Zur ersten Bemerkung: In geraden Dimensionen wird es Terme geben, die proportional zu diesen skalaren Dichten sind, aber da wir wahrscheinlich an QFT im flachen Raum denken, vergessen wir sie. Die Literatur darüber ist reichlich vorhanden. Diese Gegenbeispiele haben zusätzliche Begriffe:T= … + Tensor mit Eichindizes , da sie in Eichtheorien vorkommen. Also zu habenT= 0 ,βICH= 0 ist in diesen Fällen nicht das richtige Kriterium. Zu Ihrer letzten Bemerkung: Mein Beitrag wollte sagen, dass die Antwort oft ja lautet, aber in einigen Fällen gibt es eine zusätzliche Komplexität (die jetzt vollständig verstanden wird).
@Vibert Sie sagen also, dass im Allgemeinen bekannt ist, dass man für CFTs immer etwas haben wirdT= ∑βICHÖICH+ ( Tensor mit Eichindizes ) ? Belegt Ihre Referenz diese Tatsache? Können Sie auch den anderen Aspekt kommentieren, ob es für eine dimensionale Kopplung ausreicht, auf die Beta-Funktion zu gehen0 oder möchten Sie auch, dass die Null beim Wert der Kopplung 0 ist?
Das gilt für allgemeine QFTs. Bei CFT,T= 0 . Die Referenz erklärt die Tatsache, der Beweis wird in einem alten Artikel von Jack und Osborn gegeben, ich denke, die ursprüngliche Ressource ist "Analogs of the c-theorem ..." NPB 343. Für dimensionale Kopplungen sollte dies ausreichenβ( g) = 0 , die Kupplung selbst muss nicht verschwinden.
@Vibert Also, wenn du das sagstT= 0 meinst du⟨T _⟩ = 0 ? Da würde ich das generell auch wenn klassisch für etwas haltenT= 0 , es würde durch Quantenkorrekturen anomal werden ... richtig? Wo ist also eine Referenz, die dieses Ding das beweist?<Tμμ=βICHÖICH⟩ = 0 impliziertβICH= 0 ? Oder ist das noch eine offene Frage?
@Vibert Wenn die Massen-Beta-Funktion bei einem Wert ungleich Null der Masse verschwindet, ist die Theorie dann nicht einmal klassisch skaleninvariant? Ich verstehe nicht, warum Sie sagen, dass es nicht notwendig ist, dass die Beta-Funktion einer Dimensionskopplung bei 0-Kopplung auf 0 geht.
@ user6818: nein, das meine ichT da ein Operator verschwinden soll, also bei allen möglichen Einfügungen.< T> = 0 bereits aufgrund der Poincaré-Invarianz ... Der Grund dafür ist folgenderTμ ν= δS/ δGμ ν per Definition (bis zu einer Auswahl von Konventionen).
@Anirbit: nein, das meinte ich nicht. An einem festen Punkt sollten diese Operatoren dimensionslos sein. Aber lesen Sie noch einmal die Bearbeitung, die ich unter meinem Kommentar geschrieben habe: Sie können mit einer massiven Kopplung beginnen, sie durch den RG-Fluss entwickeln lassen und mit einer marginalen Kopplung enden, deren Beta-Funktion verschwinden kann. In diesem Fall haben Sie eine CFT. Sonst sogar ein massives freies Boson reinRD wäre ein CFT.
@Vibert Ich verstehe dein Argument nicht - ja, das weiß ichTμ ν=δSδGμ ν aber wie bedeutet dies, dass als Quantenoperator ifTμ ν= 0 dann hat die QFT konforme Invarianz? Ich kann mich nicht erinnern, irgendwo einen Beweis dafür gesehen zu haben.
@Vibert Kannst du eine Referenz / ein Beispiel für das geben, was du sagst? Wollen Sie damit sagen, dass es garantiert ist, dass, wenn die Beta-Funktion einer dimensionsvollen Kopplung an einem Punkt verschwindet, sich zwangsläufig die anomale Dimension anpassen muss, sodass die Kopplung an diesem Punkt dimensionslos wird? ... das klingt sehr ungewohnt ...
@Vibert Um es klar zu machen, sagen Sie, Sie hatten einen BegriffGÖ in einem Lagrange inD Raum-Zeit-Dimensionen, so dassÖ ist der Betreiber undG ist sein Koeffizient. Wenn es nun eine gibtG∗ ≠ 0 stβ( g∗ ) = 0 dann ist das garantiert[ O ] ( g∗ ) = d . Das wird man haben[ O ] +γÖ( d∗ ) = d ? Wird das gewährleistet? (..Wo[ O ] ist die klassische Dimension des Operators..) Wenn dies wahr ist, bedeutet dies, dass es möglich ist, dass eine klassisch massive Theorie durch RG-Fluss zu einer CFT wird.. richtig?
@Vibert Können Sie ein Beispiel geben, wo dies passieren kann, dass eine nicht marginale Kopplung zu einem Fixpunkt ungleich Null fließt und sich die anomale Dimension des entsprechenden Operators so anpasst, dass die Kopplung an diesem Punkt marginal wird? (..damit der Fixpunkt des RG-Flusses als Punkt der Skaleninvarianz interpretiert werden kann, muss diese Anpassung erfolgen!..)
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