Einige Fragen zur konformen Feldtheorie, aktuellen Algebren und der Sugawara-Konstruktion

Diese Frage ist ziemlich offen. Der zweite Teil davon betrifft die$SL(2,{\mathbb R})$Untergruppe der Virasoro-Algebra. Also dachte ich, dass ich auf die Gefahr hin, Antworten zu geben, die vielleicht nicht relevant sind, versuchen würde, dies mit der Lügentheorie in Verbindung zu bringen. Die Lie-Algebra g hat einen maximalen Satz von Pendelmatrizen, die das Cartan-Zentrum definieren$H^i$,$i~=~1,\dots,~ rank(g)$. Diese Operatoren wirken auf die verbleibenden Operatoren$E^\alpha$als$[H^i,~E^\alpha]~=~\alpha^i E^\alpha$, Wo$\alpha^i$sind die Wurzeln der Algebra. Das Jacobi-Theorem

$$[[H^i,~E^\alpha],~E^\beta]~+~[[E^\beta,~H^i],~E^\alpha]~+~[[E^\alpha,~E^\beta],~H^i]~=~0$$ erlaubt uns zu rechnen $$[E^\alpha,~E^\beta]~=~\matrix{ C(α,β)E^{α+β}~& :~\alpha~+~\beta~a~root \cr 2\alpha\cdot H/\alpha^2~& ~: \alpha~+~\beta~=~0\cr 0~& ~: otherwise}$$ Die Strukturkonstante $|C(\alpha,\beta)~=~\pm 1$und in der zweiten davon die Kontraktion von $H^i$mit der Wurzel $\alpha^i$ist eine Spur von $H^i$und wird in einer Normalisierung verwendet $E^\alpha E^{-\alpha}~= 2/\alpha^2$.

Die Operatoren für die String-Modi gehorchen einer Virasoro-Algebra,

$${[L^{a_j},~L^{b_j}]~=~(a_j~-~b_j)L^{a_j + b_j}~+~c(a_j ,b_j ).}$$ Die Virasoro-Generatoren werden entsprechend der Laurent-Erweiterung erweitert $$L^{a_n}~=~\oint\frac{dz}{2\pi iz}z^{a_n+2}T(z),~T(z)~=~-\sum_{a_n=\infty}^\infty\frac{L^{a_n}}{z^{m+2}}.$$ Kommutatoren der Virasoro-Generatoren $L^{-1},~L^0,~L^1$produzieren die $SL(2,{\mathbb R})$Algebra $$[L^0,~L^{-1}]~=~L_{-1},~[L^0,~L^1]~=~-L^1,~[L^1,~L^{-1}]~=~2L^0.$$ Dies ist die gleiche Form wie die $SU(2)$Algebra für die Drehimpulsoperatoren $L_\pm,~L_z$, ist aber nicht kompakt.

Ein allgemeiner Kommutator eines Elements$T^a~=~T^a(z)$im Vektorraum einer Lie-Algebra gehorcht$[T^a,~T^b]~=~iC^{ab}_cT^c$. Das Skalarprodukt dieser Elemente definiert ein positives Element$\langle T^a,~T^b\rangle~=~h^{ab}$. Diese dient als Metrik im Vektorraum der Lie-Algebra. Dies definiert eine Regel

$$\langle[T^a,~T^b],~T^c\rangle~+~\langle T^b,~[T^a,~T^c]\rangle~=~0.$$ Also die Metrik $h^{ab}$in irgendeiner Darstellung definiert, $r$, des Matrixelements $t^a_r$ergibt dann das Lemma-Ergebnis von Schur $tr(t^a_rt^b_r)~=~T_rh^{ab}$. Dies gibt weiter die Definition der Coxeter-Zahl cox(g) $$-\sum_{cd}C^{ac}_dC^{bd}_c~=~cox(g)(α_L)^2h^{ab}$$ für $\alpha_L$jede lange Wurzel.

Mit einigen dieser Lie-Algebraischen Grundlagen können Operator-Erzeugungs-Entwicklungen (OPE) gefunden werden. Der bosonische Scheitelpunktoperator für die heterotische Zeichenfolge hat die Form$j(z)\phi^i({\bar z})exp(ik\cot X)$, für$X$das Saitenweltblatt. Ein Eichbosonischer Vertexoperator ist ähnlich$j(z){\bar\partial}X^i({\bar z})exp(ik\cdot X)$. Der Strom ist im Komplex holomorph$z$, und Stressenergie, die aus Strömen aufgebaut ist, um konform zu sein, muss auch holomorph sein. Die grundlegendste Form eines OPE ist die$(1,0)$holomorpher Strom ist

$$j^aj^b~\sim~ k^{ab}/z^2~+~i(c^{ab}_c/z)f^c(0).$$ Der algebraische Inhalt wird gefunden, indem man die Laurent-Entwicklung des Stroms nimmt $$j^a(z)~=~\sum_{m=-\infty}^∞\frac{j^a_m}{z^{m+1}},$$ wobei die aktuellen Koeffizienten eine Lie-Algebra erfüllen $$[j^a_m,~j^b_n]~=~mk^{ab}\delta_{m,-n}~+~iC^{ab}_cj^c_{m+n},$$ das ist eine Virasoro-Algebra. Die Koeffizienten $k^{ab}~=~kh^{ab}$. Für $m = 0,\pm 1$die Virasoro-Algebra gehorcht einer geschlossenen Algebra von Kommutatoren $$[j^a_0,~j^b_{\pm1}]~=~ic^{ab}_cj^c_{\pm 1},~ [j^a_1,~ j^b_{-1}]~=~2J_0,$$ das ist ein $SU(2)$Algebra der Elemente $2\alpha\cdot H/\alpha^2$, $E^\alphaα_0$, $E^{-\alpha}_0$, oder die Elemente $(2\alpha\cdot H~+~k)/\alpha^2$, $E^\alpha_1 E^{-\alpha}_{-1}$. Wir schließen also an die obige algebraische Lie-Konstruktion an. Die obige Coxeter-Zahl definiert eine OPE-Stressenergie $$T~=~[(k~+~cox(g))(\alpha_L)^2]^{-1}:jj(z):$$ Wobei : : eine Normalisierung bedeutet. Mit zusätzlicher Arbeit konstruiert die aktuelle Algebra des Systems OPE-Erweiterungen für relevante Terme. Auf diese Weise kann eine konforme konsistente Spannungsenergie konstruiert werden.