Anfängerfragen zur konformen Feldtheorie

zur ersten Frage, bezogen auf den deutschen Text von Matthias Gaberdiel (Gruß an ihn):

Geschlossene Algebra impliziert Symmetrie

Es genügt, die Generatoren einer Algebra – in diesem Fall konforme Algebra – zu konstruieren und ihre Kommutatoren zu berechnen$[L_m,L_n]$usw. Wenn die Kommutatoren Linearkombinationen anderer Generatoren sind, sagen wir, dass die Generatoren eine geschlossene Algebra bilden. Nun, Sie haben Recht, dass wir auch einige "dynamische Informationen über die Theorie" verwenden möchten. Sie haben geschrieben, dass die Aktion unter den Transformationen, die diese Generatoren erzeugen, invariant sein sollte – und Sie befürchten, dass die Aktion – alle dynamischen Informationen über die Theorie – vollständig aus dem Beweis entfernt wurde, richtig?

Das ist ein guter Punkt, aber die dynamischen Informationen wurden nicht entfernt, da ein bestimmter Generator (oder für eine allgemeine Basis von Generatoren eine lineare Kombination von Generatoren) der Hamilton-Operator ist, der die Dynamik selbst bestimmt. Für konforme Symmetrie ist es$L_0+\tilde L_0$die die Rolle des Hamilton-Operators spielt. Es erzeugt Translationen des Zylinders oder äquivalent (wie wir weiter unten diskutieren werden) multiplikative Translationen in der radialen Koordinate. (Vielleicht additive Verschiebungen wie z$c/24$sollte auf einem der Hintergründe hinzugefügt werden.)

Da$L_0+\tilde L_0$eine lineare Kombination einiger Generatoren ist und Sie zeigen können, dass der Satz von Generatoren unter der Operation des Kommutators geschlossen ist, beweist dies, dass die gesamte von diesem Satz von Generatoren erzeugte Algebra eine dynamische Symmetrie ist. In diesem Fall der Kommutator$[L_m, L_0+\tilde L_0]$ist nicht streng Null - so die Generatoren$L_m$pendeln Sie nicht mit dem Hamiltonian. Stattdessen ist der Kommutator gleich einer anderen Kombination der Symmetriegeneratoren. Aber das sagen wir trotzdem$L_m$ist eine Symmetrie des Systems und wir kennen diese Situation auch aus anderen Zusammenhängen.

Zum Beispiel in der speziellen Relativitätstheorie der Drehimpuls$J_{12}=J_z$pendelt mit der Energie$p_0$. Allerdings der Lorentz-Boost-Generator$J_{03}$pendelt nicht mit dem Hamiltonian$p_0$: ihr Kommutator ist proportional zu$p_3=p_z$, eine Komponente des Impulses. Es ist ungleich Null, aber es ist ein weiterer Symmetriegenerator. Es ist normal für Symmetriegeneratoren, die nicht trivial auf Zeit wirken - wie z$J_{03}$Boost-Generator in der Relativitätstheorie bzw$L_m$in konformer Symmetrie - Kommutatoren ungleich Null mit dem Hamilton-Operator zu haben$p_0$oder$L_0+\tilde L_0$, beziehungsweise. Wichtig ist, dass der Kommutator ein weiterer Operator ist, von dem wir wissen, dass er ein Erzeuger einer Symmetrie ist, und die Symmetriealgebra wird vollständig durch die Gruppentheorie beschrieben – durch die Strukturkonstanten$f$in$[L_m,L_n]=f_{mn}^k L_k$- und wir müssen keine detaillierten dynamischen Informationen über die Felder usw. kennen.

Sie haben vorgeschlagen, dass man überprüfen sollte, ob die Aktion unter Symmetriegeneratoren invariant ist. Das klingt gut, außer dass die Aktion nur für eine klassische Beschreibung gut ist – oder eine Quantenbeschreibung, die durch eine direkte Quantisierung einer klassischen Theorie erhalten wird. Ein solcher Weg, eine Quantentheorie zu erhalten, ist nur dann reibungslos oder nützlich, wenn die Quantentheorie "nah genug" an einer klassischen Theorie ist. Die allgemeinste CFT, insbesondere in 2 Dimensionen, ist so stark "quanten", dass es keine natürliche Vorstellung von einer Aktion und klassischen Freiheitsgraden gibt. Man muss direkt mit den Quantenoperatoren, ihren Kommutatoren, arbeiten, und sie haben keine natürliche oder hilfreiche klassische Grenze. Nehmen Sie als Beispiel das Ising-Modell CFT. Sie finden viele Spielfelder, wie Spin-Felder und Twist-Felder,$1/16$, was in einer klassischen Theorie undenkbar wäre: Die ganze Dimension kommt von Quanteneffekten. Deshalb versucht die Struktur der CFT-Wissenschaft möglichst unabhängig von klassischen Konzepten wie der Aktion zu sein.

Implementieren einer Symmetrie für Operatoren

Wenn Sie einen Generator haben$G$einer Lie-Symmetrie wirkt es (infinitesimal) auf Ket-Zustände$|\psi\rangle$und BH-Staaten$\langle \varphi|$wie

$$\delta |\psi \rangle = i \epsilon G |\psi \rangle, \quad \delta \langle \varphi| = i \epsilon \langle \varphi| G$$ Wenn Sie auch die Aktion des Generators definieren $G$auf einem allgemeinen Operator $M$wie $$\delta M = i \epsilon [G,M]$$ dann können Sie beweisen, dass alle Matrixelemente unter der Symmetrie invariant sind, $$\delta \langle \varphi | M | \psi \rangle = 0$$ nach der Leibniz-Regel. Also die natürliche Aktion von Symmetriegeneratoren wie z $L_m$bei Betreibern wie z $\phi(z,\bar z)$ist $$\delta \phi(z,\bar z) = i \epsilon [L_m,\phi].$$ Wenn also der Kommutator von $L_m$bei einigen Feldern - Operatoren - ist das gleiche wie das entsprechende $(n+1)$-st Ableitung dieser Operatoren, dann die Generatoren $L_m$Implementieren Sie die Symmetrie, deren infinitesimale Form beinhaltet $\delta \phi\sim z^{n+1} \partial^{n+1} \phi$.

Ihre Kommentare zu "Eigenwerten" sind konzeptionell fehlgeleitet, da eine definierende Eigenschaft eines "Eigenwerts" darin besteht, dass es sich um einen "Wert" handeln muss - a$c$-Nummer - aber$\partial_z$ist kein Wert - es ist eine Operation. (Ich habe das Wort "Operator" vermieden, weil$\partial_z$kein Operator ist, der auf dem Hilbert-Raum der CFT wirkt; nur Operatoren wie z$\phi(z,\bar z)$und$\partial_z \phi(z,\bar z)$oder$L_m$sind Operatoren, die auf dem CFT-Hilbert-Raum wirken. Stattdessen,$\partial_z$selbst ist nur eine Regel, um einen Operator aus einem anderen zu erzeugen. Es wäre ein Operator, wenn die Wellenfunktionen – Zustandsvektoren – äquivalent zu Funktionen von wären$z,\bar z$aber in einer zweidimensionalen CFT sind sie es sicher nicht.)

Warum Zylinder wichtig ist

In Bezug auf die Frage, die auf David Tongs Text basiert (Grüße an David!), ist der Zylinder genau deshalb wichtig, weil eine CFT auf einem Zylinder genau einer CFT auf der unendlichen Ebene entspricht. Wenn$w=\sigma+i\tau$lebt auf einem Zylinder - mit$\sigma$Sein$2\pi$-periodisch - und wenn$z=\exp(-iw)$, dann wird der unendliche Zylinder eins zu eins vollständig auf die Ebene abgebildet.

Ich denke tatsächlich, dass David es sehr deutlich macht.

So wird die Analyse der CFT im Allgemeinen auf einer vollständigen Ebene definiert und ihr Verhalten in der Nähe der$z=0$Herkunft im Besonderen, ist völlig äquivalent zu einer Analyse einer CFT, die auf einem Zylinder im Allgemeinen und in der Grenze definiert ist$w\to -i\infty$im Speziellen. Die beiden Probleme sind genau wegen der winkeltreuen Symmetrie genau äquivalent. Der Zylinder hat eine periodische Raumkoordinate, aber diese Periodizität wird nicht aus Ad-hoc- Gründen postuliert. Es wird postuliert, weil, wenn Sie schreiben$z$in der Radius/Phasenform,

$$z= \exp(-i\sigma+\tau),$$ dann die Punkte mit $\sigma\sim \sigma+2 \pi$werden miteinander identifiziert. Die Koordinate $\sigma$ist periodisch. Das ist die Grundtatsache der Exponentialfunktion – oder ihrer Umkehrfunktion, des Logarithmus, wenn man ihn als Funktion einer komplexen Variablen betrachtet. Und die exponentielle konforme Karte ist sehr nützlich, was zu sehen ist, wenn Sie verfolgen, was David damit macht. Sie könnten die Exponentialfunktion verbieten, weil Sie sie nicht mögen (oder Sie glauben, dass andere Funktionen diskriminiert werden) - aber dann könnten Sie nicht viel vom CFT-Kalkül lernen, weil der CFT-Kalkül weitgehend von dieser cleveren exponentiellen konformen Karte abhängt .

Da ein kleines Stück eines beliebigen zweidimensionalen Weltblatts – unabhängig von der Topologie – wie die flache Ebene aussieht und weil die flache Ebene dem unendlichen Zylinder entspricht, ist der unendliche Zylinder für das Verständnis der lokalen Physik der CFT überhaupt wichtig Riemann-Oberfläche - beliebiger Topologie.

Es ist einfach wahr, dass ich die unendliche Ebene einfach in Koordinaten beschreiben kann, so dass eine davon periodisch ist. Dies macht die Analyse der auf dem Zylinder definierten Zustände – geschlossene String-Zustände – automatisch nützlich für die Analyse aller Eigenschaften von CFT, einschließlich seiner Operatoren in der Ebene. Tatsächlich stehen die Zustände eines geschlossenen Strings – erhalten durch Quantisieren der CFT auf einem Zylinder – in einer Eins-zu-Eins-Übereinstimmung mit den lokalen Operatoren$\phi_K(0)$am Ursprung (oder an jedem anderen Punkt) aufgrund der gleichen konformen Abbildung von der Ebene zum Zylinder.

Jetzt fragen Sie, wo ist die Quantisierung?

Viele der Formeln würden auch für eine klassische (nicht quantenkonforme) konforme Feldtheorie funktionieren. Es gibt jedoch keinen Hilbert-Raum von "Zuständen" einer geschlossenen Kette, die aus der Quantisierung erhalten werden. So viele der interessanten Dinge, einschließlich der Korrespondenz zwischen Staat und Betreiber, die zwei Absätze über diesem hier besprochen wurde, treten nur in der Quantentheorie auf. So ziemlich alle Objekte wie z$H$,$T_{\rm cylinder}$, und so weiter, die David auf Seite 86 oder fast jeder anderen Seite auflistet, sind Operatoren, also beschäftigt er sich mit einer Quantentheorie.

In einigen Gleichungen verwendet David sicherlich auch Kommutatoren, um zu beweisen, dass es sich um eine Quantentheorie handelt, aber es ist nicht unbedingt Seite 86 oder eine andere Seite, die Sie finden könnten, die keine Kommutatoren enthält. ;-) Aber deine Beschwerde, dass David mit Kommutatoren einiger Halbbilder nicht genau auf irgendeiner Seite spielt, wo du es erwarten würdest, ist doch sicher keine vernünftige Beschwerde, oder?

Ich bin mir ziemlich sicher, dass Sie, wenn Sie genau zuhören, auch verstehen werden, dass die Kommutatoren von Operatoren in einer CFT von den OPEs, den Operator-Produkterweiterungen, erhalten werden können. Setzen Sie einfach zwei Operatoren ein$T_k(z)$und$T_l(0)$zu zwei nahe gelegenen Punkten$0$und$z$und ihr Produkt berechnen. Das Produkt enthält typischerweise eine Singularität, die als divergiert$z\to 0$- da die beiden Betreiber sehr nahe beieinander liegen. (Die Singularität wird in jedem vernünftigen Erwartungswert sichtbar.) Der Koeffizient von$1/z$oder$1/z^2$oder$1/z^4$- die führende Singularität - ist entweder a$c$-Nummer oder ein anderer Operator. Aus diesem Operator können Sie den Kommutator der Fourier-Moden bestimmen$T_k$und$T_l$über den Zylinder ausgedehnt, und so weiter.

Die Quantenmechanik hat viele Effekte, denen Sie in der klassischen Physik nicht begegnen würden. Zum Beispiel beeinflusst es, wie Sie richtig erwähnen, die Transformation vom Zylinder in die Ebene und so weiter. Allerdings weiß ich nicht, was ich mit Fragen wie "Und ich sehe nicht, wo das hier passiert?" Was soll hier passieren? Nun, was passiert, ist wahrscheinlich etwas anderes als das, was Sie erwartet hatten - aber genau das ist der Grund, warum Sie versuchen, neue Dinge von David Tog zu lernen, nicht wahr? Wenn Sie nur alte Dinge lernen würden, die Sie kennen, würden Sie Ihre Zeit verschwenden.

Die Dinge, die Sie lernen müssen, um zweidimensionale konforme Feldtheorien zu verstehen, sind nicht "die gleichen Dinge", die Sie bereits für eine generische Quantenfeldtheorie in einem generischen flachen Raum (z. B. einem vierdimensionalen) gelernt haben. Es ist ein neues Thema mit neuen Spezialfunktionen wie Exponentialkarten, OPEs, State-Operator-Korrespondenz und so weiter, und Sie sollten nicht darauf bestehen, dass die Physik von OPEs aus denselben Erkenntnissen bestehen muss, aus denen Sie bereits wussten QED ein$d=4$. Es ist nicht dasselbe – wenn es dasselbe wäre, würden die Leute es nicht zweimal lehren.

Daher würde ich vorschlagen, dass Sie nach bestimmten Aussagen fragen, die David macht und die Sie nicht verstehen. Eine notwendige Annahme ist, dass Sie tatsächlich versuchen zuzuhören, was David sagt, anstatt zu versuchen, ihn zu zwingen, Dinge zu sagen, die Sie eigentlich hören wollten. ;-) Wenn Sie auf diesen Lernmodus umstellen, könnte die Diskussion etwas konstruktiver werden. Auf jeden Fall versichere ich Ihnen, dass David hauptsächlich über quantenmechanische Systeme spricht, also sind alle Observablen Operatoren auf einem Hilbert-Raum, die multipliziert werden können und deren Erwartungswerte berechnet werden können. Der vorherige Satz könnte helfen, wenn Sie jede einzelne Formel in Davids Vorlesungen missverstanden haben, die einen Operator enthält – was so ziemlich jede Formel wäre.

Ich kann Ihnen jedoch nicht alle anderen Details über Davids Text erklären (und nicht einmal alle Auswirkungen der Quantenmechanik - weil so ziemlich alles in dem Text quantenmechanisch ist), es sei denn, Sie sagen genau, was Ihr Problem ist. Ich müsste 107 seiner Seiten nehmen, sie um den Faktor 10 aufblähen, und Sie könnten am Ende trotzdem unzufrieden sein, weil Ihre Unzufriedenheit ganz andere Ursachen haben könnte. ;-)

Zunächst einmal reicht es nicht aus, eine Darstellung einer Lie-Algebra auf einem Hilbert-Raum einer Quantenfeldtheorie zu haben, um zu bestätigen, dass die Theorie in Bezug auf diese Algebra "symmetrisch" ist. Von "Symmetrie" sprechen wir nur in dem Fall, wo die Korrelationsfunktionen der Theorie sogenannte Ward-Identitäten verifizieren. Die Ward-Identitäten können formuliert werden, ohne sich auf eine klassische Aktion oder einen Quantisierungsprozess zu beziehen, obwohl ein Anfänger diesen Eindruck beim ersten Lesen von Übersichtsartikeln möglicherweise nicht hat. (Tatsächlich werden die Ward-Identitäten in der Literatur oft von einer klassischen Aktion und dem Pfadintegral "abgeleitet", aber in Wirklichkeit ist diese "Ableitung" nicht mehr als eine Kette plausibler Argumente, die motivieren, warum die Ward-Identitäten die Form haben sollten, die sie haben haben).eingangs postuliert und jede Theorie, die sie verifiziert, heißt symmetrisch. Lassen Sie mich zur Verdeutlichung ein Beispiel einer skalaren Feldtheorie in der zweidimensionalen Minkowski-Raumzeit geben. Die postulierte Ward-Identität für die Translationssymmetrie ist

$$\langle 0\vert\Phi(x_1+a)\Phi(x_2+a)...\Phi(x_n+a)\vert 0>=\langle 0\vert \Phi(x_1)\Phi(x_2)...\Phi(x_n)\vert 0\rangle, \qquad (Ward)$$ wo $\Phi(x)$ist eine Operatorverteilung (zu schmieren mit glatten, kompakt unterstützten Funktionen auf dem Minkowski-Raum) und $\vert 0\rangle$ist der Vakuumvektor. Natürlich kann diese Form der translationalen Ward-Identität aus einem klassischen Handlungs- und Pfadintegral motiviert sein, aber das ist für uns nicht wichtig. Die Identitäten $(Ward)$werden in der Tat einfach postuliert und jede Theorie, die sie verifiziert, wird per Definition translationssymmetrisch genannt.

Wie ist nun die Beziehung zur einheitlichen Darstellung der Übersetzungsgruppe? Nun, lassen Sie$U(a)$,$a\in \mathbb{R}^2$eine solche Darstellung sein, dh$U(a)$sind unitäre Operatoren auf dem Hilbertraum$H$der Theorie so dass$U(a)U(b)=U(a+b)$. Wenn es außerdem hält

$$\begin{equation} U(a)\vert 0\rangle=\vert 0\rangle \qquad(1) \end{equation}$$ und $$U(a)\Phi(x)U^{-1}(a)=\Phi(x+a)\qquad (2)$$ dann sehen wir leicht, dass die Ward-Identitäten $(Ward)$sind für jeden zufrieden $n$. Somit beobachten wir, dass die Existenz der einheitlichen Darstellung der Translationsgruppe, so dass die Bedingung (1) und (2) erfüllt sind, die Translationssymmetrie der Quantenfeldtheorie in dem Sinne ergibt, dass die Ward-Identitäten verifiziert sind. Übrigens wird die Bedingung (2) oft umformuliert, indem man sagt, dass die Übersetzungstransformation $x\to x+a$wird durch den unitären Operator "implementiert". $U(a)$Wirkung auf den Hilbertraum. Die infinitesimale Version der Beziehung (2) lautet $$i[P,\Phi(x)]=\partial_x\Phi(x)$$ wo $U=\exp{(iaP)}$und $P$stehen für infinitesimale (Lie-Algebra) Generatoren der Übersetzungen. In diesem Sinne ist die Gaberdiel-Formel (3.2.26) zu verstehen, in der nicht nur translatorische, sondern alle infinitesimalen konformen Transformationen implementiert sind.

Ich werde mich hier nicht auf eine detaillierte Beschreibung der Ward-Identitäten für die konforme Symmetrie einlassen, da sie nicht Gegenstand Ihrer Frage ist (sie sind zB im Gründungspapier der BPZ in NPB, 1984 zu finden). Lassen Sie mich nur die Geschichte erwähnen ist in diesem Fall etwas komplizierter, da die konforme Symmetrie durch das nicht-invariante Vakuum sanft gebrochen wird, sodass die Ward-Identitäten "anomal" sind. Wie auch immer, lassen Sie mich den ersten Teil meiner Antwort beenden, indem ich sage, dass die konforme Feldtheorie einfach die Theorie ist, die die BPZ-konformen Ward-Identitäten erfüllt

In Bezug auf den Übergang vom Zylinder zur Ebene: Vielleicht ist der beste Weg, die Darstellung zu beginnen, die Eguchi-Ooguri-Neuformulierung der BPZ-konformen Ward-Identitäten (NPB, 1987) zu erwähnen. Eguchi und Ooguri arbeiten im euklidischen Bild und koppeln dynamische Felder einer CFT an ein nicht-dynamisches Hintergrund-Gravitationsfeld (Riemannsche Metrik$g_{ab}$) auf dem Weltblatt. Insbesondere postulieren sie, dass eine Feldtheorie nur dann als konform bezeichnet wird, wenn sich ihre Korrelationsfunktionen auf eine bestimmte Weise ändern, wenn wir die Hintergrundmetrik ersetzen$g_{ab}$durch$e^{\sigma}g_{ab}$, wo$\sigma$ist eine beliebige Funktion auf dem Weltblatt. Das bedeutet, dass die funktionalen Ableitungen der Korrelationsfunktionen bezüglich des Weyl-Faktors$\sigma$muss eine bestimmte Form haben, und die entsprechenden quantitativen Ausdrücke dieser Tatsache können die Eguchi-Ooguri-Ward-Identitäten genannt werden. Das Ergebnis ist, dass die standardmäßigen BPZ-Gemeindeidentitäten von den Eguchi-Ooguri-Gemeindeidentitäten abgeleitet werden können. All dies bedeutet, dass wir Korrelationsfunktionen in einem gegebenen Gravitationshintergrund kennen$g_{ab}$wir können sie auch im "Weyl-Äquivalent"-Hintergrund berechnen$e^{\sigma}g_{ab}$. Diese Beobachtung ist sehr nützlich, da wir einige quantitative Aspekte der CFT-Theorie vor einem Hintergrund und andere Aspekte vor einem anderen Weyl-bezogenen Hintergrund untersuchen können. Das Hauptbeispiel für diese Situation ist gerade der Übergang vom Zylinder zur Ebene. Die Korrelationsfunktionen der CFT-Theorien in den natürlichen flachen euklidischen Koordinaten in der Ebene haben sehr schöne analytische Eigenschaften (die sogenannte fundamentale Borcherds-OPE-Beziehung hat die schönste mögliche Form), während die Theorie auf dem Zylinder nützlicher für die Konstruktion des Hilbert-Raums ist der Theorie und zB Fragen zu den Darstellungen der Virasoro-Algebra. Lassen Sie mich zu diesem Punkt einige technische Details hinzufügen.

Betrachten Sie die euklidische Metrik auf der euklidischen Ebene$ds_1^2=dx^2+dy^2$, und die flache Metrik auf dem Zylinder$ds_2^2=d\phi^2+d\rho^2$, wo$\rho$ist die Koordinate entlang der Achse des Zylinders und$\phi$ist der Winkel "Koordinate" um ihn herum. Obwohl$\phi$nicht global definiert ist, ist die folgende Abbildung, die die Ebene und den Zylinder betrifft, global definiert:

$$x=e^\rho\cos{\phi}, \quad y=e^\rho\sin{\phi}.$$ Unter Verwendung dieser Transformation beobachten wir, dass der Zylinder durch die Ebenenkoordinaten parametrisiert werden kann $x,y$in dem die Metrik $ds_2^2$wird $$ds_2^2=\frac{1}{x^2+y^2}(dx^2+dy^2).$$ Wir beobachten, dass der Weyl-Faktor $\sigma=-$ln $(x^2+y^2)$Der im Eguchi-Ooguri-Formalismus berücksichtigte Formalismus ist natürlich entstanden, und aufgrund der Eguchi-Ooguri-Ward-Identitäten besteht eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen den Korrelationsfunktionen einer CFT-Theorie auf der Ebene und ihrer "Cousine" CFT-Theorie auf der Zylinder.

Was ist dann die radiale Quantisierung? Das Wort Quantisierung ist meiner Meinung nach ein Fehlbegriff und man sollte eher von einer "radialen Rekonstruktion" sprechen. Was ich meine, ist Folgendes: Die BPZ-Bezirksidentitäten werden normalerweise auf der komplexen Ebene formuliert, wo sie besonders einfache Formen annehmen. Sobald wir eine euklidische konforme Feldtheorie auf der Ebene haben (dh die Korrelationsfunktionen, die die BPZ-Ward-Identitäten verifizieren), würden wir gerne wissen, ob es eine Minkowski-Version dieser Theorie mit ihrem Hilbert-Raum und mit ihren operatorwertigen Verteilungen in einer solchen gibt Weise, dass die Mittelwerte dieser Verteilungen im Vakuum (bei geeigneter Wick-Rotation) die ursprünglichen euklidischen Lösungen der BPZ-Ward-Identitäten ergeben. Insofern müssen wir betonen, dass der Minkowski CFT immer vom Zylinder lebt!Das bedeutet, dass wir beim Arbeiten in der Ebene nicht als euklidische Zeit nehmen können, um Wick eine flache Koordinate zu drehen$x$oder$y$aber die wahre euklidische Zeit ist stattdessen:$\rho=\frac{1}{2}$ln$(x^2+y^2)$das ist nur der Logarithmus der RadialenPolarkoordinaten in der Ebene. Der wahre „Raum“ der Minkowski-Quantenfeldtheorie ist jeder Kreis auf der euklidischen Ebene, der im Ursprung zentriert ist. Die "radiale Rekonstruktion" ist dann eine Möglichkeit, den Hilbert-Raum der Minkowski-Version der Theorie, die operatorwertigen Verteilungen und die Virasoro-Generatoren direkt auf der Ebene zu konstruieren, ohne die Koordinatentransformation zum Zylinder durchzuführen. Das Ergebnis ist das übliche Quantentheorie-Zeug mit seinem Hilbert-Raum, Operatoren usw., also sieht es aus wie eine Quantisierung, aber in Wirklichkeit ist der Ausgangspunkt keine klassische Geschichte, sondern es ist auch Quanten, wenn auch im euklidischen Sinne. Lassen Sie mich abschließend warnen, dass die radiale Rekonstruktion nicht immer funktioniert, dh nicht jede Lösung der euklidischen BPZ-Ward-Identitäten führt zu einer Minkowski-Quantenfeldtheorie.

Ich bin nicht wirklich qualifiziert, um zu antworten, aber ich denke, ich kann einen Hinweis auf Ihre erste Frage geben.

Zuerst müssen Sie an das Feld denken$\phi$als Betreiber. Insbesondere denke ich eher an$\phi$als Linearkombination

$$\hat\phi(z,\bar z) = \int dz d\bar z\ \phi(z,\bar z) \Psi^\dagger(z,\bar z)$$

von Betreibern$\Psi^\dagger(z,\bar z)$die an Positionen Partikel erzeugen$(z,\bar z) = (x+iy,x-iy)$(wo$x$und$y$sind die unabhängigen Koordinaten in der Ebene). Die Konstruktion in Bezug auf normale Modi ist ähnlich, außer dass Sie eine andere Basis verwenden - nicht Positionen, sondern Modi (hauptsächlich, weil das Erstellen eines Partikels, das an genau einem Punkt lokalisiert ist, seine mathematischen Probleme hat).

EDIT: Das Folgende ist nicht sehr genau.

Was bedeutet das nun für den Betreiber?$\mathcal L(\phi, \partial\phi)$unter einem Symmetrieoperator invariant sein$T$? Es bedeutet einfach, dass beide Betreiber pendeln,

$$[T,L(\phi, \partial\phi)] = 0$$

Wenn nun der Symmetrieoperator$T=L_n$die betreffende Kommutatorbeziehung erfüllt und die Lagrange - Funktion als Funktion unter konformen Transformationen invariant ist, folgt daraus, dass die Lagrange -Funktion als Operator mit pendelt$T$. Der Grund dafür ist, dass die Kommutatorbeziehung für$L_n$macht$[L_n,·]$wirken auf den Lagrange-Operator genauso wie die entsprechende konforme Symmetrie auf die Lagrange-Funktion wirkt. (Ich denke, dies kann anhand des obigen Bildes von gezeigt werden$\phi$als Operator.)