Die Grundgleichung der Bosonisierung

Ich glaube, in der ersten Formel ist ein Tippfehler. Lassen Sie mich diese (Teil-)Antwort für die vorschlagen$3$erste Formeln:

Weil$H(z)H(0) \sim -ln(z)$, können wir das OPE für jedes Paar von Operatoren schreiben$F(H), G(H)$Funktionen von$H$(analog zu formel$2.2.10$P.$39$vol$1$)

$$:F::G: = e^{- \large \int dz_1 dz_2 ln z_{12} \frac{\partial}{\partial H(z_1)}\frac{\partial}{\partial H(z_2)}} :FG:\tag{1}$$

Dies ergibt z$F = e^{i \epsilon_1 H(z_1)}, G = e^{i \epsilon_2 H(z_2)}$

$$:e^{i \epsilon_1 H(z_1)}::e^{i \epsilon_2 H(z_2)}: = (z_{12})^{\epsilon_1 \epsilon_2} :e^{i \epsilon_1 H(z_1)}e^{i \epsilon_2 H(z_2)}:\tag{2}$$

Also haben wir :

$$:e^{iH(z)}::e^{-iH(0)}:~ = \frac{1}{z}~:e^{i H(z)}e^{-i H(0)}: ~\sim \frac{1}{z}:e^{i H(0)}e^{-i H(0)}: \sim \frac{1}{z}\tag{3}$$

$$:e^{iH(z)}::e^{iH(0)}:~ = z~:e^{i H(z)}e^{i H(0)}: ~\sim z~:e^{2i H(0)}: \sim O(z)\tag{4}$$

$$:e^{-iH(z)}::e^{-iH(0)}:~ = z~:e^{-i H(z)}e^{-i H(0)}: ~\sim z~:e^{-2i H(0)}: \sim O(z)\tag{5}$$

[BEARBEITEN]

Für die letzte Gleichung denke ich, dass es die gleiche Argumentation ist wie in Vol$1$, Buchseite$173,174$, Formeln$6.2.24$bis$6.2.31$

[BEARBEITEN 2]

Die Formel$1$, und die Formel$(2.2.10)$sind keine Ad-hoc-Formeln. Diese sind die Folge einer Definition der normalen Ordnung und der Definition der Kontraktionen. Diese sind die Folge der allgemeinen Formeln$2.2.5$Zu$2.2.9$, , zum Beispiel :

$$F = :F:+ ~contractions \tag{2.2.8}$$ $$:F::G: = :FG:+ ~cross-contractions \tag{2.2.9}$$

Nun können wir uns auf holomorphe Felder spezialisieren$Y(z)$, so dass$Y(z)Y(0) \sim f(z)$, und schreibe :

$$:F::G: = e^{ \large \int dz_1 dz_2 f(z_{12}) \frac{\partial}{\partial Y(z_1)}\frac{\partial}{\partial Y(z_2)}} :FG:\tag{6}$$ Wo $F$Und $G$sind Funktionen von $Y$

Die Spezialisierung auf ein holomorphes Feld ändert nichts an der Logik und dem durchgeführten Kalkül$2.2.5$Zu$2.2.9$