Normale Ordnung in der Stringtheorie: Polchinski vs. alle anderen

Diese beiden Definitionen sind nicht gleich und führen zu unterschiedlichen Ausdrücken für kompliziertere Felder (zusammengesetzte) OPEs. Diese beiden Definitionen verwenden die gleiche Regularisierung (Point-Splitting-Regularisierung), aber unterschiedliche Subtraktionsschemata . Die von Polchinski übernommene ergibt sich durch Subtraktion der Kontraktionen zwischen den Feldern, divergierende und endliche Terme werden bei diesem Verfahren subtrahiert. Nehmen Sie als Beispiel die folgenden zusammengesetzten Operatoren OPE:

$$:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z)::\partial x^{\rho}(w):=:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z)\partial x^{\rho}(w):+:\partial x^{(\nu}(z):\eta^{\mu)\rho}\partial_z\partial_w\left(-\frac{\alpha'}{2}\log(|z-w|^2)\right)$$ $$=:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z)\partial x^{\rho}(w):-\frac{\alpha'}{2}\frac{\partial x^{\nu}(z):\eta^{\mu\rho}+\partial x^{\mu}(z):\eta^{\nu\rho}}{(z-w)^2}$$

hinein expandieren$z\rightarrow w$den Zähler erhalten wir

$$=:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z)\partial x^{\rho}(w):-\frac{\alpha'}{2}\frac{\partial x^{\nu}(w):\eta^{\mu\rho}+\partial x^{\mu}(w):\eta^{\nu\rho}}{(z-w)^2}$$ $$-\frac{\alpha'}{2}\frac{\partial^2 x^{\nu}(w):\eta^{\mu\rho}+\partial^2 x^{\mu}(w):\eta^{\nu\rho}}{(z-w)}-\frac{\alpha'}{4}\partial^3 x^{\nu}(w):\eta^{\mu\rho}-\frac{\alpha'}{4}\partial^3 x^{\mu}(w):\eta^{\nu\rho}+\mathcal{O}(z-w)$$

Subtrahieren des abweichenden Teils und dann Senden$z\rightarrow w$, ist dasselbe wie Rechnen

$$\left(:\partial x^{\mu}(w)\partial x^{\nu}(w):,:\partial x^{\rho}(w):\right)=\oint_{C(w)}\frac{dz}{2\pi i}\frac{:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z)::\partial x^{\rho}(w):}{(z-w)}$$

und was wir bekommen ist

$$\left(:\partial x^{\mu}(w)\partial x^{\nu}(w):,:\partial x^{\rho}(w):\right)=:\partial x^{\mu}(w)\partial x^{\nu}(w)\partial x^{\rho}(w):-\frac{\alpha'}{4}\partial^3 x^{\nu}(w)\eta^{\mu\rho}-\frac{\alpha'}{4}\partial^3 x^{\mu}(w):\eta^{\nu\rho}$$

Es gibt einen zusätzlichen Begriff, der normalerweise als Bestellbedingungen bezeichnet wird und auf der rechten Seite erscheint. Beachten Sie auch das$:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z):=(\partial x^{\mu}(z),\partial x^{\nu}(z))$. Es ist sehr wichtig zu beachten, dass die$::$Die Ordnung ist assoziativ und (anti-)kommutativ für Bosonen (Fermionen). Der$(,)$Ordnung ist nicht assoziativ und nicht (anti-)komutativ! Aus diesem Grund bevorzuge ich das Polchinski-Rezept, aber das Problem mit dem Polchinski-Rezept ist, dass wir im Voraus wissen müssen, was die "fundamentalen" Felder sind, die andere lokale Betreiber und ihre OPEs aufbauen werden, um die Kontraktion zu definieren, während die$(,)$Die Bestellung erfordert nur die Kenntnis der OPEs, ohne ein bevorzugtes "fundamentales" Feld auszuwählen.

Normalerweise hängt die Physik nicht davon ab, wie Sie die Reihenfolge zwischen verschiedenen Operatoren definieren, aber bei Vorhandensein von Wechselwirkungen oder nichtlinearen Einschränkungen hängt die Physik davon ab, wie Sie die Reihenfolge bestimmter Operatoren definieren, da zusammengesetzte Operatoren für die Dynamik wichtig sind. und sie sind empfindlich unter Bestellung.

Die übliche Definition eines normal bestellten Produkts ist:

$$:X^\mu(z,\bar z)X^\nu(w,\bar w): = X^\mu(z,\bar z) X^\nu(w, \bar w) - \langle X^\mu(z,\bar z) X^\nu(w, \bar w) \rangle$$

Wie Sie sagten, ist dies der reguläre Teil des OPE, da nur der divergente Teil zweier Operatoren einen nicht verschwindenden Beitrag zum Korrelator liefert. Natürlich

$$\langle X^\mu(z,\bar z) X^\nu(w, \bar w) \rangle=- \frac{\alpha'}{2} \eta^{\mu\nu} \log |z-w|^2$$