Betreiberprodukterweiterung in CFT

Beachten Sie zunächst, dass die Anordnung der radialen Operatoren${\cal R}$ist in vielen Lehrbüchern der CFT implizit impliziert (z. B. Ref. 1). Zum Beispiel Gl. (2.2.7) auf p. 39 in Art.-Nr. 1 diskutiert den Satz von Wick zwischen zwei Operator-Ordnungsvorschriften. In diesem Fall zwischen normaler Bestellung$:~:$und radiale Anordnung${\cal R}$. Siehe auch zB diesen Phys.SE Beitrag. Die grundlegende 2-Punkt-Beziehung des Satzes von Wick lautet

$$\tag{1} : \hat{X}_i \hat{X}_j : ~=~ {\cal R}(\hat{X}_i \hat{X}_j)+ C_{ij},$$

wo die sogenannte Kontraktion $C_{ij}$wird als a angenommen$c$-Nummer. [Etwas präziser:$C_{ij}$wird als zentrales Element angenommen.] Hier die Indizes$i,j,k,\ldots$sind eine Abkürzung für alle möglichen diskreten und kontinuierlichen Bezeichnungen der Operatoren$\hat{X}_i ,\hat{X}_j,\hat{X}_k, \ldots$, vgl. Kondensierte DeWitt-Notation .

OPs gesuchte 3-Punkte-Beziehung des Wickschen Theorems ist$^1$

$$\tag{2} : \hat{X}_i \hat{X}_j\hat{X}_k : ~=~ {\cal R}(\hat{X}_i \hat{X}_j\hat{X}_k) +C_{ij} {\cal R}(\hat{X}_k) + C_{ik}{\cal R}(\hat{X}_j) + {\cal R}(\hat{X}_i)C_{jk}.$$

Gl. (1) und (2) lassen sich formal zu Gl. (2.2.7) von Lit. 1

$$\tag{3} :{\cal F}: ~=~ \exp \left(\frac{1}{2} \sum_{i,j} C_{ij}\frac{\partial}{\partial \hat{X}_i} \frac{\partial}{\partial \hat{X}_j} \right) {\cal R}({\cal F}),$$

wo der Betreiber${\cal F}$ist eine Funktion der Operatoren$\hat{X}_i$. Beachten Sie, dass die Operatoren unter den beiden Ordnungssymbolen als kommutative Objekte behandelt werden$:~:$Und${\cal R}$. Gl. (3) ist eine bequeme formale Abkürzung/Mnemonik für die verschiedenen$n$-Punktbeziehungen des Satzes von Wick.

Verweise:

1. J. Polchinski, Stringtheorie, Bd. 1; S.39.

--

$^1$In dieser Antwort haben wir der Einfachheit halber angenommen, dass alle Operatoren$\hat{X}_i$sind Grassmann-gleich. Wenn einige der Betreiber$\hat{X}_i$Grassmann-ungerade sind, gibt es zusätzliche Vorzeichenfaktoren in Gl. (2) und (3).