Virasoro TT OPE (2.2.11) in Polchinskis Buch

Question

Virasoro TT OPE (2.2.11) in Polchinskis Buch

Ein freundlicher Helfer

Ich versuche Gl. (2.2.11) in Polchinskis erstem Buch.

Er rechnet

: \partial X^{μ} (z) \partial X_{μ} (z) :: \partial^{'} X^{v} (z^{'}) \partial^{'} X_{v} (z^{'}) :

$:\partial X^\mu(z)\partial X_\mu(z): :\partial' X^\nu(z')\partial' X_\nu(z'):$

Jetzt verstehe ich, warum dieser Ausdruck geschrieben werden kann als

\begin{matrix} (2.2.11) & Ausdruck oben = : \partial X^{μ} (z) \partial X_{μ} (z) \partial^{'} X^{v} (z^{'}) \partial^{'} X_{v} (z^{'}) : - 4 a^{'} / 2 (\partial \partial^{'} \ln | z - z^{'} |^{2}) : \partial X^{μ} (z) \partial^{'} X_{μ} (z^{'}) : + 2 η_{μ}^{μ} (- a^{'} / 2 \partial \partial^{'} \ln | z - z^{'} |^{2})^{2} . \end{matrix}

$\text{expression above}~=~:\partial X^\mu(z)\partial X_\mu(z)\partial' X^\nu(z')\partial' X_\nu(z'):\quad - 4\alpha'/2 (\partial\partial' \ln|z-z'|^2):\partial X^\mu(z)\partial'X_\mu(z'): + 2\eta_\mu^\mu(-\alpha'/2 \partial\partial'\ln|z-z'|^2)^2.\tag{2.2.11}$

Er gibt dann jedoch an, eine Taylor-Entwicklung innerhalb der normalen Reihenfolge durchzuführen, um das OPE in Standardform zu erhalten, dh

\sim \frac{D a^{' 2}}{2 (z - z^{'})^{4}} - \frac{2 a^{'}}{(z - z^{'})^{2}} : \partial^{'} X^{μ} (z^{'}) \partial^{'} X_{μ} (z^{'}) : - \frac{2 a^{'}}{z - z^{'}} : \partial^{' 2} X^{μ} (z^{'}) \partial^{'} X_{μ} (z^{'}) : + nicht-singuläre Terme.

$\sim~ \frac{D\alpha'^2}{2(z-z')^4}-\frac{2\alpha'}{(z-z')^2}:\partial'X^\mu(z')\partial'X_\mu(z'): - \frac{2\alpha'}{z-z'}:\partial'^2X^\mu(z')\partial' X_\mu(z'): + \text{non-singular terms.}$

Den letzten Schritt verstehe ich nicht. Wie genau fügt er die Taylorentwicklung ein? Könnte bitte jemand aufklären? Zum Beispiel sehe ich nicht, wohin der erste Begriff geht? Verschwindet das, wenn er Taylor erweitert?

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Virasoro TT OPE (2.2.11) in Polchinskis Buch

Olof · Answer 1

Der erste Term in Ihrer zweiten Gleichung enthält keine Singularitäten und ist daher Teil der "nicht-singulären Terme" am Ende des letzten Ausdrucks. Um die endgültige Form zu finden, müssen Sie nur die Ableitungen der logarithmischen Terme durchführen und den Term durch Taylor erweitern $:\!\partial X^\mu(z)\partial'X_\mu(z')\!:$ um herum $z=z'$ . Die singulären Beiträge der verschiedenen Terme sind dann gegeben durch

\begin{aligned} : \partial X^{μ} (z) \partial X_{μ} (z) \partial^{'} X^{v} (z^{'}) \partial^{'} X_{v} (z^{'}) : & \sim 0 \\ - 4 \frac{a^{'}}{2} (\partial \partial^{'} \ln | z - z^{'} |^{2}) : \partial X^{μ} (z) \partial^{'} X_{μ} (z^{'}) : & \sim - \frac{2 a^{'}}{(z - z^{'})^{2}} : \partial X^{μ} (z) \partial^{'} X_{μ} (z^{'}) : \\ - \frac{2 a^{'}}{z - z^{'}} : \partial^{'} \partial^{'} X^{μ} (z^{'}) \partial^{'} X_{μ} (z^{'}) : \\ 2 η_{μ}^{μ} (- \frac{a^{'}}{2} \partial \partial^{'} \ln | z - z^{'} |^{2})^{2} & \sim \frac{D (a^{'})^{2}}{2 (z - z^{'})^{4}} \end{aligned}

$\begin{align} :\partial X^\mu(z)\partial X_\mu(z)\partial' X^\nu(z')\partial' X_\nu(z')\!: \,\,&\sim\, 0 \\ -4\frac{\alpha'}{2} (\partial\partial' \ln|z-z'|^2) \,:\!\partial X^\mu(z)\partial'X_\mu(z')\!: \,\,\,&\sim -\frac{2\alpha'}{(z-z')^2} \,:\!\partial X^\mu(z)\partial'X_\mu(z')\!:\\ &\qquad-\frac{2\alpha'}{z-z'} \,:\!\partial' \partial' X^\mu(z')\partial'X_\mu(z')\!: \\ 2\eta^\mu_{\,\,\mu}(-\frac{\alpha'}{2} \partial\partial'\ln|z-z'|^2)^2 &\sim \frac{D(\alpha')^2}{2(z-z')^4} \end{align}$

Danke für deine Antwort. Einige Teile sind mir immer noch nicht klar: zB Die letzte Gleichung. Ich bekomme davon $2D(-\alpha'/2 \partial'\partial ln|z-z'|^2)^2=2D \alpha'^2/4 \cdot 4\cdot 1/(z-z')^4=2D\alpha'^2\frac{1}{(z-z')^4}$ , dh ich kann den 1/2 Vorfaktor nicht reproduzieren. Stattdessen bekomme ich einen Vorfaktor von 2. Wo kommt das hier rein?
Aber das Protokoll ist hoch zwei. Wenn ich deine Rechnung wiederhole, bekomme ich: $\partial'\partial {ln|z-z'|^2}=\partial'\partial 2ln|z-z'|=2*\partial'\frac{1}{z-z'}=-2\frac{1}{(z-z')^2}$
@Afriendlyhelper: Ich bin mir nicht sicher, wo deine Faktoren liegen $4$ herkommen, aber die Ableitungen geben sollten $\partial \partial' \ln|z-z'|^2 = 1/(z-z')^2$ . Beachten Sie, dass $|z-z'|^2 = (z-z')(\bar{z}-\bar{z}')$ .
Ah, ok danke. Ich habe die z's heimlich als echte Variablen behandelt :) Mein Fehler. Da habe ich den Faktor vier bekommen. Danke!
Noch eine Frage: Woher weiß ich, dass der erste Term in der Antwort regulär ist? Per Definition der normalen Bestellung?
@Afriendlyhelper: Ja, die normale Reihenfolge ist so konstruiert, dass die Singularitäten entfernt werden.

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