Virasoro-Operatoren Kommutierungsbeziehungen [geschlossen]

Zeigen:

$$\boxed{\left<0,0|\left[L_n,L_{-n}\right]|0,0\right>=<0,0|n^2L_0+\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m)\left|0,0\right>=<0,0|\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m)\left|0,0\right>= \frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m)\left<0,0|0,0\right> = \frac{D}{12}n(n^2-1).}$$

Warum verschwindet der erste Term?

Das zu sehen$\left<0,0|n^2L_0|0,0\right> =0$man kann die algebraische Kommutatorbeziehung verwenden und schreiben

$$2 L_0 |0,0 \rangle = (L_1 L_{-1} - L_{-1} L_1) |0,0\rangle =0$$ wie bei Polchinski, S. 59. Der Ausdruck ist Null, weil die $L_{\pm 1}$kann als normal bestellt angesehen werden $$L_n=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} : \alpha_{n} \alpha_{-n} :$$ mit allen Vernichtungsoperatoren auf der rechten Seite, die die zerstören $|0,0 \rangle$.

Warum ist$\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m)=\frac{D}{12}n(n^2-1)$?

Zerlegen wir die Summe in 2 Terme

$$\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m) = \frac{D}{2} n \sum_{m=1}^{n-1}m -\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m^2$$ Die erste Summe kann mit einer bekannten endlichen Reihe identifiziert werden $\sum_{k=1}^l k =\frac{l(l+1)}{2}$geben $$\frac{D}{2} n \sum_{m=1}^{n-1}m = \frac{D}{2}n\frac{(n-1)n}{2}.$$ Die zweite Summe kann mit einer anderen endlichen Reihe aus derselben Liste identifiziert werden $\sum_{k=1}^l k^2 = \frac{l(l+1)(2l+1)}{6}$geben $$\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m^2= \frac{D}{2} \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.$$ Durch Subtrahieren der zweiten Summe von der ersten gelangt man zum gewünschten Ergebnis $$\boxed{\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m)=\frac{D}{12}n(n^2-1)}.$$