BRST-Quantisierung (Green, Schwarz, Witten)

Question

BRST-Quantisierung (Green, Schwarz, Witten)

Haz

In Green, Schwarz, Witten, Band 1, Abschnitt 3.2, wird die BRST-Quantisierung allgemein eingeführt. Eine Lie-Algebra $G$ wird mit Elementen definiert

\begin{matrix} (3.2.1) & [K_{ich}, K_{J}] = F_{ich J}^{k} K_{k} \end{matrix}

$[K_i,K_j] = f_{ij}{}^k K_k \tag{3.2.1}$ Wo

f_{i j}^{k}

$f_{ij}{}^k$ ist die Strukturkonstante. Antigeister

b_{i}

$b_i$ und Geister

c^{i}

$c^i$ Transformation in die adjungierte bzw. dualadjungierte Darstellung. Sie gehorchen

\begin{matrix} (3.2.2) & {C^{ich}, B_{J}} = δ_{J}^{ich} \end{matrix}

$\{c^i,b_j\} = \delta^i_j\tag{3.2.2}$ Der nilpotente BRST-Operator ist

\begin{matrix} (3.2.4) & Q = C^{ich} K_{ich} - \frac{1}{2} F_{ich J}^{k} C^{ich} C^{J} B_{k} \end{matrix}

$Q = c^i K_i - \frac{1}{2}f_{ij}{}^kc^i c^j b_k \tag{3.2.4}$ Die Indizes hier sind alle summiert.

Dies wird dann auf die Virasoro-Algebra ohne zentrale Ladung angewendet

[L_{M}, L_{N}] = (M - N) L_{M + N}

$[L_m,L_n] = (m-n)L_{m+n}$ Wo

\begin{matrix} (3.1.58) & L_{M} = L_{M}^{(a)} + L_{M}^{(C)} - A δ_{M} \end{matrix}

$L_m = L^{(\alpha)}_m + L^{(c)}_m - a\delta_m \tag{3.1.58}$ Der Geisterbeitrag ist

\begin{matrix} (3.1.49) & L_{M}^{(C)} = \sum_{N = - \infty}^{\infty} (M - N) B_{M + N} C_{- N} \end{matrix}

$L^{(c)}_m = \sum_{n=-\infty}^\infty(m-n)b_{m+n}c_{-n} \tag{3.1.49}$ Laut Buch ist der BRST-Operator

\begin{aligned} (3.2.11) & Q & = \sum_{- \infty}^{\infty} L_{- M}^{(a)} C_{M} - \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} (M - N) : C_{- M} C_{- N} B_{M + N} : - A C_{0} \\ (3.2.12) & = \sum_{- \infty}^{\infty} : (L_{- M}^{(a)} + \frac{1}{2} L_{- M}^{(C)} - A δ_{M}) C_{M} : \end{aligned}

$\begin{align*} Q &= \sum_{-\infty}^\infty L^{(\alpha)}_{-m}c_m - \frac{1}{2}\sum_{-\infty}^\infty (m-n):c_{-m} c_{-n} b_{m+n} : -ac_0 \tag{3.2.11}\\ &= \sum_{-\infty}^\infty :(L^{(\alpha)}_{-m} + \frac{1}{2}L^{(c)}_{-m} - a\delta_m)c_m: \tag{3.2.12} \end{align*}$

Es scheint, dass die Antigeister $b_i$ sind jetzt $b_m$ , und die Geister $c^i$ sind jetzt $c_{-m}$ , so dass

\begin{matrix} (3.1.44) & {C_{M}, B_{N}} = δ_{M + N} . \end{matrix}

$\{c_m,b_n\}=\delta_{m+n}\tag{3.1.44}.$ Die Nicht-Null-Strukturkonstanten sind

f_{m n}^{(m + n)} = (m - n)

$f_{mn}^{(m+n)} = (m-n)$ .

Meine Frage ist : Wie wird der normal geordnete Geisterbegriff abgeleitet? Ich denke, der Geisterbeitrag zum Virasoro-Operator sollte normal geordnet sein, da die Mehrdeutigkeit der Ordnung darin absorbiert wird $a$ . Also folgende Gleichung $(3.2.4)$ ,

\begin{aligned} Q & = \sum_{- \infty}^{\infty} C_{- M} L_{M} - \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} (M - N) C_{- M} C_{- N} B_{M + N} \\ = \sum_{- \infty}^{\infty} L_{- M}^{(a)} C_{M} + \sum_{- \infty}^{\infty} C_{- M} L_{M}^{(C)} - A C_{0} - \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} (M - N) C_{- M} C_{- N} B_{M + N} \end{aligned}

$\begin{align} Q &= \sum_{-\infty}^\infty c_{-m}L_m - \frac{1}{2}\sum_{-\infty}^{\infty} (m-n)c_{-m}c_{-n}b_{m+n} \\ &= \sum_{-\infty}^\infty L^{(\alpha)}_{-m} c_{m} + \sum_{-\infty}^\infty c_{-m}L^{(c)}_m - ac_0 - \frac{1}{2}\sum_{-\infty}^{\infty} (m-n)c_{-m}c_{-n}b_{m+n} \end{align}$

Einfügen $L^{(c)}_m$ , Es scheint, dass

\begin{aligned} \sum_{- \infty}^{\infty} (M - N) C_{- M} : B_{M + N} C_{- N} : - \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} (M - N) C_{- M} C_{- N} B_{M + N} & = - \frac{1}{2} \sum_{- \infty}^{\infty} (M - N) : C_{- M} C_{- N} B_{M + N} : \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{-\infty}^\infty (m-n) c_{-m}:b_{m+n}c_{-n}: - \frac{1}{2}\sum_{-\infty}^{\infty}(m-n)c_{-m}c_{-n}b_{m+n} &= -\frac{1}{2}\sum_{-\infty}^\infty (m-n) : c_{-m}c_{-n}b_{m+n}: \end{align}$

Ich bin mir nicht sicher, wie ich diese in Beziehung setzen soll. Es scheint, dass der Versuch, die beiden Begriffe zu kombinieren, ein ergibt $-3/2$ da die Operatoren antipendelnd sind, sowie eine Divergenzsumme. Vielleicht Gleichung $(3.1.49)$ ist um einen Faktor ausgeschaltet? Über dieser Gleichung steht das geschrieben $L_m = \frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi} d\sigma e^{im\sigma} T_{++}$ , und dies zu berechnen, bekomme ich $i$ mal gleichung $(3.1.49)$ .

Jede Hilfe ist willkommen, danke.

Antworten (1)

BRST-Quantisierung (Green, Schwarz, Witten)

QMechaniker · Answer 1

Nun, der Zeichenfolgen-BRST-Operator (3.2.11-12) mit einer unendlich -dimensionalen Lie-Algebra kann nicht vom BRST-Operator (3.2.4) für endlich -dimensionale Lie-Algebren so wie er ist übernommen werden, hauptsächlich wegen des zweiten Terms in letzterer verwendet keine normale Reihenfolge . Das Problem ist ziemlich ernst, seit der Unterschied zwischen dem zweiten Begriff $\begin{matrix} (1) & Q_{2} = - \frac{1}{2} \sum_{N, M \in Z} (M - N) C_{- M} C_{- N} B_{M + N} \end{matrix}$ $\tag{1} Q_2~=~-\frac{1}{2}\sum_{n,m\in\mathbb{Z}} (m-n) c_{-m}c_{-n}b_{m+n}$ ohne normale Ordnung und der entsprechende zweite Term mit normaler Ordnung ist unendlich:

\begin{matrix} (2) & Q_{2} - : Q_{2} : = C_{0} \sum_{N \in Z} N C_{- N} B_{N} - : C_{0} \sum_{N \in Z} N C_{- N} B_{N} : = \infty C_{0} . \end{matrix}

$\tag{2} Q_2~-~:Q_2:~=~c_0 \sum_{n\in\mathbb{Z}} n c_{-n} b_n ~-~ :c_0 \sum_{n\in\mathbb{Z}} n c_{-n} b_n: ~=~ \infty~c_0.$

Die leistungsstärkste Methode besteht stattdessen darin, die BRST-Symmetrie mit Hilfe von OPEs , radial ordering, zu formulieren ${\cal R}$ , und der Satz von Wick zwischen radialer und normaler Ordnung. Siehe zB diese und diese Phys.SE-Beiträge und Links darin. Der BRST-Gebührenbetreiber ist $\begin{matrix} (3) & Q = \oint \frac{D z}{2 π ich} J_{B R S T} (z), \end{matrix}$ $\tag{3} Q~=~\oint \frac{dz}{2\pi i}~ j_{\rm BRST}(z),$ wo der BRST aktuellen Betreiber $\begin{matrix} (4) & J_{B R S T} (z) = C (z) T^{(X)} (z) + \frac{1}{2} : B (z) C (z) \partial C (z) : + \frac{3}{2} \partial^{2} C (z) \end{matrix}$ $\tag{4} j_{\rm BRST}(z)~=~ c(z)T^{(X)}(z) + \frac{1}{2} :b(z)c(z)\partial c(z): + \frac{3}{2} \partial^2 c(z)$ ist ein primäres Feld der konformen Gewichtung $h=1$ , was die OPE erfüllt $\begin{matrix} (5) & R J_{B R S T} (z) J_{B R S T} (w) = - \frac{C^{(X)} - 18}{2 (z - w)^{3}} C (w) \partial C (w) - \frac{C^{(X)} - 18}{4 (z - w)^{2}} C (w) \partial^{2} C (w) - \frac{C^{(X)} - 26}{12 (z - w)} C (w) \partial^{3} C (w) + nicht-singuläre Terme . \end{matrix}$ ${\cal R}~ j_{\rm BRST}(z)~j_{\rm BRST}(w) ~=~ -\frac{c^{(X)}-18}{2(z-w)^3}c(w)\partial c(w)- \frac{c^{(X)}-18}{4(z-w)^2}c(w)\partial^2 c(w) - \frac{c^{(X)}-26}{12(z-w)}c(w)\partial^3 c(w) +\text{non-singular terms}.\tag{5}$ Hier $\begin{matrix} (6) & C (z) = \sum_{N \in Z} C_{N} z^{- N + 1}, B (z) = \sum_{N \in Z} B_{N} z^{- N - 2} . \end{matrix}$ $\tag{6} c(z)~=~ \sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n z^{-n+1}, \qquad b(z)~=~ \sum_{n\in\mathbb{Z}} b_n z^{-n-2}.$ Der BRST-Ladeoperator $Q$ ist bekanntlich nilpotent $Q^2=0$ iff die Angelegenheit zentrale Gebühr $c^{(X)}=26$ ist sechsundzwanzig .

Verweise:

MB Green, JH Schwarz und E. Witten, Superstring-Theorie, Vol. 3, No. 1, 1986; Abschnitte 3.1 & 3.2.
J. Polchinski, Stringtheorie, Bd. 1, 1998; Abschnitt 4.3.

3. R. Blumenhagen, D. Lust und S. Theisen, Grundkonzepte der Stringtheorie, 2013; Abschnitt 5.2.

BRST-Quantisierung (Green, Schwarz, Witten)

Haz

Antworten (1)

QMechaniker

QMechaniker

BRST-Quantisierung des Punktteilchens: Vorzeichen von Strukturfunktionen (Polchinski)

Eine Frage zum BRST-Strom in der bosonischen Stringtheorie

Wie zeige ich die Existenz einer konservierten Geisterzahl mit BRST in der bosonischen Stringtheorie?

Was ist eine Geisternummer?

Dochtreihenfolge und radiale Reihenfolge in CFT

Normale Ordnung im freien Boson-Vertex-Operator

BRST-Quantisierung des bosonischen Strings: Nullpotenz der BRST-Transformation (Polchinski)

Virasoro TT OPE (2.2.11) in Polchinskis Buch

BRST-Quantisierung einer offenen Zeichenfolge auf der Ebene N = 1N = 1N = 1

Eine Frage zum Oberflächenbegriff von Geisterfeldern