Dochtreihenfolge und radiale Reihenfolge in CFT

Hier skizzieren wir eine Strategie zum Nachweis der gesuchten Betreiberidentität$(4)$aus den folgenden Definitionen dessen, was der Kommutator und die normale Reihenfolge von zwei Modusoperatoren ist$\alpha_m$Und$\alpha_n$bedeuten:

$$[\alpha_m, \alpha_n]~=~ \hbar m~\delta_{m+n}^0, \tag{1}$$ $$\begin{align} :\alpha_m \alpha_n:~=~&\Theta(n-m) \alpha_m \alpha_n \cr~+~& \Theta(m-n) \alpha_n \alpha_m,\end{align}\tag{2}$$

Wo$\Theta$bezeichnen die Heaviside-Schrittfunktion .

1. Beachten Sie, dass der Strom$j(z)~=~j_{-}(z) + j_{+}(z)$ist eine Summe eines Schöpfungsteils$j_{-}(z)$und einen Vernichtungsteil$j_{+}(z)$.

2. Daran erinnern, dass die radiale Reihenfolge${\cal R}$ist definiert als

   $$\begin{align}{\cal R}(j(z)j(w)) ~=~&\Theta(|z|-|w|) j(z)j(w)\cr ~+~& \Theta(|w|-|z|)j(w)j(z).\end{align}\tag{3}$$

3. Schreiben Sie die gesuchte Operatoridentität um als

   $$\begin{align}\cal{R}(j(z)j(w))~-~&:j(z)j(w):\cr ~=~&\frac{\hbar}{(z-w)^2}.\end{align}\tag{4}$$

4. Beachten Sie, dass jeder der drei Terme in Gl.$(4)$sind unveränderlich unter$z\leftrightarrow w$Symmetrie. Also können wir von nun an davon ausgehen$|z|<|w|$.

5. Zeige, dass

   $$\begin{align}j(w)j(z)~-~&:j(z)j(w):\cr ~=~&[j_{+}(w),j_{-}(z)].\end{align}\tag{5}$$

6. Zeigen (unter der Annahme$|z|<|w|$) Das

   $$\begin{align}j(w)j(z)~-~~&R(j(z)j(w))\cr ~\stackrel{|z|<|w|}{=}&0.\end{align}\tag{6}$$

7. Subtrahiere Gl. (6) aus Gl. (5):

$$\begin{align}\cal{R}(j(z)j(w))~-~~&:j(z)j(w):\cr ~\stackrel{|z|<|w|}{=}&[j_{+}(w),j_{-}(z)].\end{align} \tag{7}$$

8. Rechts auswerten. von Gl. (7):

$$\begin{align} [j_{+}(w),j_{-}(z)]~=~&\ldots\cr ~=~&\frac{\hbar}{w^2} \sum_{n=1}^{\infty}n \left(\frac{z}{w}\right)^{n-1}\cr ~=~&\ldots ~=~ \frac{\hbar}{(z-w)^2}.\end{align} \tag{8}$$ Im letzten Schritt verwenden wir, dass die Summe unter der Annahme konvergiert$|z|<|w|$.$\Box$