Wick Theorem, Bestellung & CFT

Sie möchten die Ableitung sowohl nach z als auch nach w bilden.

Nehmen

$${X^\mu }\left( z \right){X^\nu }\left( w \right) \sim - {1 \over 4}{\eta ^{\mu \nu }}\ln \left( {z - w} \right)$$

und verwenden Sie die folgende Ableitung

$${{{\partial ^2}} \over {\partial w\partial z}}\left[ {{X^\mu }\left( z \right){X^\nu }\left( w \right)} \right] = {\partial \over {\partial w}}\left[ {{X^\nu }\left( w \right){\partial \over {\partial z}}{X^\mu }\left( z \right)} \right] = {\partial \over {\partial z}}{X^\mu }\left( z \right){\partial \over {\partial w}}{X^\nu }\left( w \right)$$

Wenn wir dasselbe mit der OPE machen...

$${{{\partial ^2}} \over {\partial w\partial z}}\left[ { - {1 \over 4}{\eta ^{\mu \nu }}\ln \left( {z - w} \right)} \right] = {\partial \over {\partial w}}\left[ { - {1 \over 4}{\eta ^{\mu \nu }}{1 \over {z - w}}} \right] = - {1 \over 4}{\eta ^{\mu \nu }}{1 \over {{{\left( {z - w} \right)}^2}}}$$

Was uns das richtige Ergebnis liefert

$$\partial {X^\mu }\left( z \right)\partial {X^\nu }\left( w \right) \sim - {1 \over 4}{\eta ^{\mu \nu }}{1 \over {{{\left( {z - w} \right)}^2}}}$$

Dieses Ergebnis kann mit den entsprechenden Moduserweiterungen verifiziert werden. Siehe Bsp. 3.1 BBS ST & MT. http://www.nucleares.unam.mx/~alberto/apuntes/bbs.pdf

Soweit das Produkt der normal bestellten Operatoren geht ... EDIT: Siehe die Antwort von user2309840, besser als das, was ich geschrieben hatte.

Dem ersten Teil der Antwort von Jake Lebovic ist nichts hinzuzufügen.

Bezüglich des zweiten Teils der Frage – wie man die OPE zweier Spannungstensoren berechnet – verwendet man den Satz von Wick. Normales Ordnen bedeutet, dass die einzelnen Felder, aus denen der normal geordnete Operator besteht, in diesem Fall die beiden, nicht zusammengezogen werden$\partial X$macht sich aus$T(z)$. In der folgenden Berechnung sieht man also, dass es nur zwei Möglichkeiten gibt, alles zusammenzuziehen, aber vier Möglichkeiten, nur zwei davon zusammenzuziehen$\partial X$Betreiber:

$$T(z) T(w) = \frac{1}{\alpha'^2} {:} \partial X^\mu \partial X_\mu (z) {:}\, {:} \partial X^\nu \partial X_\nu(w) {:}$$ $$\sim \frac{2}{\alpha'^2} ( - \partial_z \partial_w \eta^\mu_\nu \frac{\alpha'}{2} \log |z-w|^2)(-\partial_z \partial_w \eta^\nu_\mu \frac{\alpha'}{2} \log |z-w|^2 )$$ $$+ \frac{4}{\alpha'} (- \partial_z \partial_w \eta^\mu_\nu \frac{\alpha'}{2} \log |z-w|^2) {:} \partial X^\nu (z) \partial X_\mu(w) {:}$$ $$\sim \frac{\eta^\mu_\mu}{2} \frac{1}{(z-w)^4} - \frac{2}{\alpha'} \frac{1}{(z-w)^2} {:} \partial X^\mu(z) \partial X_\mu(w){:} + \ldots$$ $$\sim \frac{D}{2} \frac{1}{(z-w)^4} + \frac{2}{(z-w)^2} T(w) + \frac{1}{(z-w)} \partial T(w) + \ldots$$ Die letzte Zeile hier ist die kanonische Form der OPE zweier Spannungstensoren in einer zweidimensionalen konformen Feldtheorie. Der $D$im ersten Term ist die zentrale Ladung, oft bezeichnet $c$, aber hier gleich der Anzahl der $X$Felder. Die Zwei im zweiten Term ist die Skalierungsdimension des Spannungstensors.

Die letzte Frage von OP lautet im Wesentlichen (v1):

Was bedeutet das Produkt von normalgeordneten Operatoren?

$$: \partial X(z) \partial X(z) : :\partial X(w) \partial X(w): ~?$$

Genau genommen handelt es sich um ein radial geordnetes Produkt normal geordneter Operatoren

$${\cal R} \left[ : \partial X(z) \partial X(z) : :\partial X(w) \partial X(w): \right].$$

Allerdings die radiale Anordnung${\cal R}$wird in CFT-Texten normalerweise implizit impliziert und nicht explizit geschrieben. Trotzdem ist es wichtig. Ohne radiales Ordnen (oder andere Arten des Ordnens, wie z. B. Zeit-Ordnen, normales Ordnen usw.) ist ein Operator-Produkt oft schlecht definiert. Die Kontraktionen (und Doppelkontraktionen), die in dieser Berechnung durchgeführt werden (vgl. z. B. die Antwort von Benutzer 2309840), werden durch die Neuanordnungen aus der radialen Reihenfolge bestimmt${\cal R}$zu normaler Ordnung in Übereinstimmung mit einer verschachtelten Version des Wick-Theorems . Dies wird in diesem Phys.SE-Beitrag näher erläutert .