Warum/Wie lautet dieser Satz von Wick?

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Warum/Wie lautet dieser Satz von Wick?

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Superalgebra
Dochtsatz
Quantenfeldtheorie
konforme-Feld-Theorie

Benutzer6818

Lassen $\phi$ ein skalares Feld sein und dann sehe ich den folgenden Ausdruck (1) für das Quadrat der normal geordneten Version von $\phi^2(x)$ .

\begin{aligned} T (: ϕ^{2} (x) :: ϕ^{2} (0) :) & = 2 ⟨ 0 | T (ϕ (x) ϕ (0)) | 0 ⟩^{2} \\ + 4 ⟨ 0 | T (ϕ (x) ϕ (0)) | 0 ⟩ : ϕ (x) ϕ (0) : \\ (1) & + : ϕ^{2} (x) ϕ^{2} (0) : \end{aligned}

$\begin{align} T(:\phi^2(x)::\phi^2(0):) &= 2 \langle 0|T(\phi(x)\phi(0))|0 \rangle^2 \\ &+ 4\langle 0|T(\phi(x)\phi(0))|0 \rangle:\phi(x)\phi(0): \\ &+ :\phi^2(x)\phi^2(0): \tag{1} \end{align}$

Es wäre großartig, wenn jemand helfen könnte, den obigen Ausdruck abzuleiten - möglicherweise von Grund auf neu - und ohne Outsourcing an Wicks Theorem - und vielleicht helfen könnte, herauszufinden, warum das Obige mit dem Wicks Theorem verwandt (gleich?) ist?

Ist das obige nicht auch als OPE (Operator Product Expansion) bekannt? Wenn ja, gibt es dann überhaupt einen Unterschied zwischen OPE und dem Wickschen Theorem? Gibt es eine systematische Möglichkeit, solche OPEs abzuleiten?
Kann man helfen, dies auf Fermionen zu erweitern?

Antworten (1)

Warum/Wie lautet dieser Satz von Wick?

QMechaniker · Answer 1

Wie Lubos Motl in einem Kommentar erwähnt, ist der gesuchte Gl. (1) wird über den Satz von Wick bewiesen.

Es ist interessant zu versuchen, Wicks Theorem zu verallgemeinern und zu versuchen, die Anzahl der darin enthaltenen Annahmen zu minimieren. Hier skizzieren wir einen möglichen Ansatz.

I) Angenommen, eine Familie $(\hat{A}_i)_{i\in I}$ von Betreibern $\hat{A}_i\in{\cal A}$ lebt in einer (Super-)Operatoralgebra ${\cal A}$

mit (Super-) Kommutator $[\cdot,\cdot]$ , und
mit Zentrum $Z({\cal A})$ .

Hier

Der Index $i\in I$ läuft über einen Indexsatz $I$ (es könnte kontinuierlich sein) und
Der Index $i$ enthält Informationen, wie z. B. Position $x$ , Zeit augenblicklich $t$ , Annihilation/Creation Label, Art des Feldes etc. des Operators $\hat{A}_i$ .

II) Gehe davon aus

\forall ich, j \in ich : [{\hat{EIN}}_{ich}, {\hat{EIN}}_{j}] \in Z (EIN) .

$\forall i,j\in I~: \qquad [\hat{A}_i,\hat{A}_j] ~\in~Z({\cal A}).$

III) Angenommen, es seien zwei Bestellvorschriften gegeben, sagen wir $T$ und $::$ . Hier $T$ und $::$ könnte im Prinzip zwei beliebige Ordnungsvorschriften bezeichnen, zB zeitliche Ordnung, normale Ordnung, radiale Ordnung, Weyl-Ordnung $^1$ usw. Dies bedeutet, dass der Indexsatz $I$ ist mit zwei strengen Gesamtordnungen ausgestattet , sagen wir, $<$ und $\prec$ , bzw. so dass

Die $T$ symbol ist (graduiert) multilinear bzgl. Superzahlen .
$T(\hat{A}_{\pi(i_1)}\ldots\hat{A}_{\pi(i_n)})~=~(-1)^{\sigma_{\pi}} T(\hat{A}_{i_1}\ldots\hat{A}_{i_n} )$ ist (graduiert) symmetrisch , wobei $\pi\in S_n$ ist eine Permutation von $n$ Elemente und $(-1)^{\sigma_{\pi}}$ ist ein Koszul-Vorzeichenfaktor. $^2$
$T(\hat{A}_{i_1}\ldots\hat{A}_{i_n} )~=~\hat{A}_{i_1}\ldots\hat{A}_{i_n}$ wenn $i_1 > \ldots > i_n$ .
In dem besonderen Fall, wo einige der $i_1 , \ldots , i_n$ sind gleich $^3$ (bzgl. der Reihenfolge <), dann sollte man in angemessenem (gestuftem) Sinne über die entsprechenden Teilmengen symmetrieren. Zum Beispiel,
$T ({\hat{EIN}}_{{ich}_{1}} \dots {\hat{EIN}}_{{ich}_{n}}) = {\hat{EIN}}_{{ich}_{1}} \dots {\hat{EIN}}_{{ich}_{k - 1}} \frac{{\hat{EIN}}_{{ich}_{k}} {\hat{EIN}}_{{ich}_{k + 1}} + (- 1)^{| \hat{EIN} {ich}_{k} | | \hat{EIN} {ich}_{k + 1} |} {\hat{EIN}}_{{ich}_{k + 1}} {\hat{EIN}}_{{ich}_{k}}}{2} {\hat{EIN}}_{{ich}_{k + 2}} \dots {\hat{EIN}}_{{ich}_{n}}$ $T(\hat{A}_{i_1}\ldots\hat{A}_{i_n} )~=~\hat{A}_{i_1}\ldots\hat{A}_{i_{k-1}}\frac{\hat{A}_{i_k}\hat{A}_{i_{k+1}}+(-1)^{|\hat{A}{i_k}||\hat{A}{i_{k+1}}|}\hat{A}_{i_{k+1}}\hat{A}_{i_k}}{2}\hat{A}_{i_{k+2}}\ldots\hat{A}_{i_n}$ wenn $i_1 > \ldots > i_k=i_{k+1}> \ldots > i_n$ .

[Ähnliche Bedingungen 1-4 sollten für die zweite Ordnung gelten $(::,\prec)$ .]

IV) Aus den Annahmen I-III folgt dann, dass die (generalisierten) Kontraktionen

{\hat{C}}_{ich j} = T ({\hat{EIN}}_{ich} {\hat{EIN}}_{j}) - : {\hat{EIN}}_{ich} {\hat{EIN}}_{j} : \in Z (EIN)

$\hat{C}_{ij}~=~T(\hat{A}_i\hat{A}_j)~-~:\hat{A}_i\hat{A}_j:~\in~Z({\cal A})$ gehören zur Mitte

Z (A)

$Z({\cal A})$ . Die Kontraktionen sind symmetrisch abgestuft

{\hat{C}}_{ich j} = (- 1)^{| {\hat{EIN}}_{ich} | | {\hat{EIN}}_{j} |} {\hat{C}}_{j ich} .

$\hat{C}_{ij}~=~(-1)^{|\hat{A}_i||\hat{A}_j|} \hat{C}_{ji}.$

V) Nehmen Sie weiterhin an, dass die Kontraktionen $\hat{C}_{ij}$ sind nicht von den Betreibern abhängig $\hat{A}_k$ , dh

\frac{\partial {\hat{C}}_{ich j}}{\partial {\hat{EIN}}_{k}} = 0

$\frac{\partial \hat{C}_{ij}}{\partial \hat{A}_k}~=~0$ um die folgenden kombinatorischen Argumente zu vereinfachen.

VI) Es ist nun eine einfache Übung, das entsprechende Wicksche Theorem aufzustellen

T (f (\hat{EIN})) = \exp (\frac{1}{2} \sum_{ich, j \in ich} {\hat{C}}_{ich j} \frac{\partial}{\partial {\hat{EIN}}_{j}} \frac{\partial}{\partial {\hat{EIN}}_{ich}}) : f (\hat{EIN}) :,

$T(f(\hat{A})) ~=~ \exp\left(\frac{1}{2}\sum_{i,j\in I}\hat{C}_{ij}\frac{\partial}{\partial\hat{A}_j}\frac{\partial}{\partial\hat{A}_i} \right):f(\hat{A}):,$ was eine Regel bedeutet, wie ein Bestellrezept erneut auszudrücken ist

T (f (\hat{A}))

$T(f(\hat{A}))$ [wo

f

$f$ ist eine ausreichend schöne Funktion der

({\hat{A}}_{i})_{i \in I}

$(\hat{A}_i)_{i\in I}$ Familie] in Bezug auf das andere Bestellrezept

::

$::$ und (Mehrfach-)Kontraktionen

{\hat{C}}_{i j}

$\hat{C}_{ij}$ . Und umgekehrt mit den Rollen der beiden Ordnungen

T

$T$ und

::

$::$ vertauscht:

: f (\hat{EIN}) : = \exp (- \frac{1}{2} \sum_{ich, j \in ich} {\hat{C}}_{ich j} \frac{\partial}{\partial {\hat{EIN}}_{j}} \frac{\partial}{\partial {\hat{EIN}}_{ich}}) T (f (\hat{EIN})) .

$:f(\hat{A}): ~=~ \exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i,j\in I}\hat{C}_{ij}\frac{\partial}{\partial\hat{A}_j}\frac{\partial}{\partial\hat{A}_i} \right)T(f(\hat{A})).$ Solche Wick-Theoreme können nun sukzessive angewendet werden, um verschachtelte Wick-Theoreme aufzustellen, wie z.

^{4}

$^4$

T (: f (\hat{EIN}) :: g (\hat{EIN}) :) = {\exp (\sum_{ich, j \in ich} {\hat{C}}_{ich j} \frac{\partial}{\partial {\hat{EIN}}_{j}} \frac{\partial}{\partial {\hat{B}}_{ich}}) : f (\hat{EIN}) g (\hat{B}) : |}_{\hat{B} = \hat{EIN}} .

$T(:f(\hat{A})::g(\hat{A}):) ~=~ \left. \exp\left(\sum_{i,j\in I}\hat{C}_{ij}\frac{\partial}{\partial\hat{A}_j}\frac{\partial}{\partial\hat{B}_i} \right) :f(\hat{A}) g(\hat{B}): \right|_{\hat{B}=\hat{A}}.$ Diese Wickschen Theoreme können auf eine größere Klasse von Operatoren als nur die erweitert werden

({\hat{A}}_{i})_{i \in I}

$(\hat{A}_i)_{i\in I}$ Familie durch (abgestufte) Multilinearität.

VII) Nehmen wir nun an, dass die Operatoren $\hat{A}_i$ sind der Einfachheit halber bosonisch. Eine besondere Konsequenz eines verschachtelten Wick-Theorems ist die folgende Version

T (: {\hat{EIN}}_{ich}^{2} :: {\hat{EIN}}_{j}^{2} :) = 2 {\hat{C}}_{ich j}^{2} + 4 {\hat{C}}_{ich j} : {\hat{EIN}}_{ich} {\hat{EIN}}_{j} : + : {\hat{EIN}}_{ich}^{2} {\hat{EIN}}_{j}^{2} :

$T(:\hat{A}^2_i::\hat{A}^2_j:) ~=~ 2\hat{C}_{ij}^2 + 4 \hat{C}_{ij}:\hat{A}_i\hat{A}_j: + :\hat{A}^2_i\hat{A}^2_j:$

der gesuchten Gl. (1). Lassen Sie uns abschließend erwähnen, dass der Satz von Wick, die radiale Ordnung, OPE usw. auch in diesem und diesem Phys.SE-Beitrag behandelt werden.

--

Fußnoten:

$^1$ Beispiel: Die Weyl/symmetrische Ordnung erfüllt

W (f (\hat{EIN})) = {\exp (\sum_{ich \in ich} {\hat{EIN}}_{ich} \frac{\partial}{\partial a_{ich}}) f (a) |}_{a = 0} .

$W(f(\hat{A})) ~=~\left. \exp\left(\sum_{i\in I}\hat{A}_i \frac{\partial}{\partial a_i} \right) f(a) \right|_{a=0}.$ Weitere Details finden Sie zB in meiner Phys.SE-Antwort hier .

$^2$ Die Koszul-Zeichenkonvention erzeugt jedes Mal ein Minuszeichen, wenn zwei ungerade Grassmann-Objekte permutiert werden. In dieser Antwort $|\hat{A}_i|=0,1 \pmod 2$ bezeichnet die Grassmann-Parität von $\hat{A}_i$ .

$^3$ Gleich sein bzgl. Eine Ordnung ist im Allgemeinen eine Äquivalenzrelation, und sie ist oft eine schwächere Bedingung als die Gleichheit als Elemente von $I$ .

$^4$ Ein verschachtelter Wick-Satz (zwischen radialer Ordnung und normaler Ordnung) ist kurz in Gl. (2.2.10) auf p. 39 in J. Polchinski, String Theory, Vol. 39, No. 1. Beachten Sie, dass die radiale Reihenfolge in CFT-Texten oft nur implizit geschrieben wird. Übrigens wird in diesem Phys.SE-Beitrag ein Nebeneffekt / eine Besonderheit von verschachtelten Ordnungssymbolen diskutiert .

Ich mag diese Antwort so, wie sie ist, da sie sehr deutlich macht, dass der Satz von Wick kein Satz über QFT ist, sondern ein völlig allgemeiner Satz über Algebren, die einigen einfachen Axiomen gehorchen. Die standardmäßige Lehrbuchbehandlung mit Feldern und VEVs verschleiert, was wirklich nur grundlegende Algebra ist.
1. Haben Sie Referenzen, wo die oben genannten Schritte detailliert und explizit durchgeführt werden? 2. Insbesondere ist mir nicht klar, wie der Bestellvorgang abläuft $T$ für gleiche Zeiten in QFT definiert ist und ob es dem entspricht, was in Punkt 4 der Bedingung III angegeben ist. 3. Außerdem habe ich Probleme, den Satz von Wick in VI zu beweisen, einige zusätzliche Details wären äußerst hilfreich. Danke sehr!

Warum/Wie lautet dieser Satz von Wick?

Benutzer6818

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QMechaniker

Jonathan

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