Normale Ordnung der Normalen Ordnung

Question

Normale Ordnung der Normalen Ordnung

Physik
Betreiber
Dochtsatz
Quantenfeldtheorie
konforme-Feld-Theorie

MaPo

Im ersten Band von Polchinski, Seite 39, können wir eine kompakte Formel lesen, um Normalordnung für bosonische Felder durchzuführen

\begin{matrix} (1) & : F : = \underset{:= Ö}{\underset{⏟}{\exp {\frac{a^{'}}{4} \int D^{2} z D^{2} w Protokoll | z - w |^{2} \frac{δ}{δ φ (z, \bar{z})} \frac{δ}{δ φ (w, \bar{z} w)}}}} F, \end{matrix}

$:\cal F:~=~\underbrace{\exp\left\{\frac{α'}{4}∫\mathrm{d}^2z\mathrm{d}^2w\log|z-w|^2\frac{δ}{δφ(z,\bar z)}\frac{δ}{δφ(w,\bar zw)} \right\}}_{:=\mathcal{O}}\cal F, \tag{1}$

Was ich nicht verstehe, ist, dass ich gerne hätte (unter Berücksichtigung der Definition mit $a$ Und $a^†$

\begin{matrix} (2) & :: F :: = : F : \end{matrix}

$::\cal F::~=~:\cal F:\tag{2}$ aber mit dieser Formel

\begin{matrix} (3) & Ö^{2} F \neq Ö F . \end{matrix}

$\cal O^2\cal F~≠~\cal O \cal F.\tag{3}$

BEISPIEL:

\begin{matrix} (4) & : φ (z) φ (w) : = φ (z) φ (w) - \frac{a^{'}}{2} Protokoll | z - w |^{2} \end{matrix}

$:φ(z)φ(w):~=~φ(z)φ(w)-\frac{α'}{2}\log|z-w|^2\tag{4}$ Aber

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} :: φ (z) φ (w) :: = & : φ (z) φ (w) : - \frac{a^{'}}{2} Protokoll | z - w |^{2} \\ = & φ (z) φ (w) - a^{'} Protokoll | z - w |^{2} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} ::φ(z)φ(w)::~=~&:φ(z)φ(w):-\frac{α'}{2}\log|z-w|^2\cr ~=~&φ(z)φ(w)-α'\log|z-w|^2.\end{align}\tag{5}$

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Normale Ordnung der Normalen Ordnung

QMechaniker · Answer 1

Kurze Erklärung: Polchinskis Gl. (1) ist keine Formel, die keine normale Ordnung in normale Ordnung umwandelt: Der Ausdruck ${\cal F}$ auf der rechten Seite von Gl. (1) wird implizit als radial geordnet angenommen. Tatsächlich ist Gl. (1) ist ein Wick-Theorem zum Ändern der radialen Ordnung in eine normale Ordnung, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
Längere Erklärung: Beim Umgang mit nicht kommutativen Operatoren, sagen wir $\hat{X}$ Und $\hat{P}$ , die "Funktion von Operatoren" $f(\hat{X},\hat{P})$ macht keinen Sinn, es sei denn, man spezifiziert eine Operatorordnungsvorschrift (wie zB radiale Ordnung, Zeitordnung, Wick/normale Ordnung, Weyl/symmetrische Ordnung usw.). Ein strengerer Weg ist die Einführung einer Korrespondenzkarte
$\begin{matrix} (A) & \begin{matrix} Symbole/Funktionen \\ ↕ \\ Betreiber \end{matrix} \end{matrix}$ $\begin{array}{c} \text{Symbols/Functions}\cr\cr \updownarrow\cr\cr\text{Operators}\end{array}\tag{A}$ (Zum Beispiel wird die Korrespondenzabbildung von Weyl-Symbolen zu Operatoren in diesem Phys.SE-Beitrag erklärt.) Um einen Operator zu definieren $\hat{\cal O}$ Bei Operatoren gibt man oft den entsprechenden Operator an ${\cal O}$ auf Symbole/Funktionen, dh, $\begin{matrix} (B) & \begin{array}{ccc} Radial geordnete Symbole/Fkt & \overset{Ö}{⟶} & Normal geordnete Symbole/Fkte \\ ↕ & ↕ \\ Radial geordnete Operatoren & \overset{\hat{Ö}}{⟶} & Normalgeordnete Operatoren \end{array} \end{matrix}$ $\begin{array}{ccc} \text{Radial-Ordered Symbols/Fcts}&\stackrel{\cal O}{\longrightarrow} & \text{Normal-Ordered Symbols/Fcts} \cr\cr \updownarrow &&\updownarrow\cr\cr \text{Radial-Ordered Operators}&\stackrel{\hat{\cal O}}{\longrightarrow} & \text{Normal-Ordered Operators}\end{array}\tag{B}$ ZB der Differentialoperator von Polchinski ${\cal O}$ macht streng genommen nur Sinn, wenn es auf Symbole/Funktionen wirkt. Die Identifikation (A) von Symbolen und Operatoren ist bei Polchinski implizit impliziert.
Zur Idempotenz der normalen Ordnung siehe zB auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Danke schön. Ich habe den Beitrag über Idempotenz gelesen. Aber es gibt immer noch etwas, das ich nicht verstehen kann. Der Punkt ist, dass für Operatoren, die in Feldern quadratisch sind, zu gelten scheint, aber nicht im Allgemeinen. Zum Beispiel. Wenn ich versuche, Gleichung (1) in normaler Reihenfolge zu verwenden, würde ich eine Konstante bekommen $\cal O 1 =1$ anstatt $0$ wie ich erwarten sollte.
@MaPo Die normale Reihenfolge einer Konstante ist die Konstante, warum erwartest du 0?
Du hast Recht, aber ich kann es wirklich nicht verstehen. Zum Beispiel scheint uns das Beispiel von @ACuriousMind zu sagen, dass es unmöglich ist, diese Operation wirklich zu definieren. Ich bin sehr verwirrt und weiß nicht, wie ich die Formel anwenden soll. Aber wenn die normale Ordnung einer Konstante die Konstante isfelf ist, wo ist dann der Fehler bei der Ableitung der Gleichungen (4) und (5), der zu zeigen scheint, dass die Idempotenz versagt?
Sie können nur mit operieren ${\cal O}$ auf radial geordneten Ausdrücken. Daher können Sie sich nicht bewerben ${\cal O}$ zweimal, da nach der ersten Anwendung von ${\cal O}$ , ist der Ausdruck nicht mehr radial geordnet.
Vielen Dank! Jetzt habe ich verstanden, wie man Polchinski (1) richtig anwendet. Abgesehen davon, was mich jetzt beunruhigt, ist das Beispiel von @ACuriousMind, das zu behaupten scheint, dass die Linearität in der normalen Reihenfolge fehlschlägt, wenn nur die Definition angewendet wird, wobei die radiale Reihenfolge überhaupt nicht berücksichtigt wird. Gibt es einen Ausweg?
Linearität $~:{\cal F}_1~ +~{\cal F}_2:~=~:{\cal F}_1:~ +~ :{\cal F}_2:~$ einer Operatorordnung (zB normale Ordnung) gilt, wenn die Argumente ${\cal F}_1$ Und ${\cal F}_2$ sind bereits irgendwie geordnet, zB radial. (Beachten Sie insbesondere, dass die Vorbestellung von Argumenten die Mehrdeutigkeit der Operatorbestellung beseitigt, die im Gegenbeispiel der Antwort von ACuriousMind ausgenutzt wird.)
Sollten die Pfeile nicht darunter sein $\cal O$ Und $\hat {\cal O}$ von rechts nach links gehen?
@Hallo Auf Wiedersehen: Danke! Korrigierte Richtung in Gl. (B).

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