Zeitreihenfolge vs. Normalreihenfolge und die Zweipunktfunktion/der Propagator

Question

Zeitreihenfolge vs. Normalreihenfolge und die Zweipunktfunktion/der Propagator

Dehnung

Ich verstehe nicht, wie man diese verallgemeinerte Zweipunktfunktion oder diesen Propagator berechnet, der in einigen fortgeschrittenen Themen der Quantenfeldtheorie verwendet wird, ein normales geordnetes Produkt (bezeichnet zwischen $::$ ) wird von der üblichen Zeit des bestellten Produkts abgezogen (bezeichnet $T$ ):

⟨ X^{μ} (σ, τ) X^{v} (σ^{'}, τ^{'}) ⟩ = T (X^{μ} (σ, τ) X^{v} (σ^{'}, τ^{'})) - : X^{μ} (σ, τ) X^{v} (σ^{'}, τ^{'}) :

$\langle X^{\mu}(\sigma,\tau)X^{\nu}(\sigma',\tau')\rangle ~=~ T ( X^{\mu}(\sigma,\tau)X^{\nu}(\sigma',\tau')) ~-~ : X^{\mu}(\sigma,\tau)X^{\nu}(\sigma',\tau'):$

Meine Frage ist, kann die RHS dieses Propagators abgeleitet oder die Bedeutung der Subtraktion des zeitgeordneten Produkts in einfachen Worten erklärt und motiviert werden?

Antworten (1)

Zeitreihenfolge vs. Normalreihenfolge und die Zweipunktfunktion/der Propagator

QMechaniker · Answer 1

Wenn die Betreiber $X_i$ kann als Summe eines Vernichtungs- und eines Erzeugungsteils geschrieben werden $^1$

\begin{matrix} (1) & X_{ich} = A_{ich} + A_{ich}^{†}, ich \in ICH, \end{matrix}

$X_i~=~A_i + A^{\dagger}_i, \qquad i~\in ~I, \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} A_{ich} | Ω ⟩ = 0, & ⟨ Ω | A_{ich}^{†} = 0, \\ ich \in & ICH, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} A_i|\Omega\rangle~=~0, \qquad & \langle \Omega |A^{\dagger}_i~=~0, \cr \qquad i~\in~&I,\end{align}\tag{2}$

Wo

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} [A_{ich} (T), A_{J} (T^{'})] = & 0, \\ [A_{ich}^{†} (T), A_{J}^{†} (T^{'})] = & 0, \\ ich, J \in & ICH, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} [A_i(t),A_j(t^{\prime})] ~=~& 0, \cr [A^{\dagger}_i(t),A^{\dagger}_j(t^{\prime})] ~=~& 0, \cr i,j~\in ~&I,\end{align}\tag{3}$

Und

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} [A_{ich} (T), A_{J}^{†} (T^{'})] = & (C N u M B e R) \times 1, \\ ich, J \in & ICH, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} [A_i(t),A_j^\dagger(t^{\prime})] ~=~& (c~{\rm number}) \times {\bf 1},\cr i,j~\in~&I,\end{align}\tag{4}$

dh proportional zum Identitätsoperator ${\bf 1}$ , dann darf man das beweisen

$\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} T ( & X_{ich} (T) X_{J} (T^{'})) - : X_{ich} (T) X_{J} (T^{'}) : \\ = & ⟨ Ω | T (X_{ich} (T) X_{J} (T^{'})) | Ω ⟩ 1 . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} T(&X_i(t)X_j(t^{\prime})) ~-~:X_i(t)X_j(t^{\prime}):\cr ~=~&\langle \Omega | T(X_i(t)X_j(t^{\prime}))|\Omega\rangle ~{\bf 1}.\end{align} \tag{5}$

Beweis von Gl. (5): Einerseits die Zeitordnung $T$ ist definiert als

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} T ( & X_{ich} (T) X_{J} (T^{'})) \\ = & Θ (T - T^{'}) X_{ich} (T) X_{J} (T^{'}) + Θ (T^{'} - T) X_{J} (T^{'}) X_{ich} (T) \\ = & X_{ich} (T) X_{J} (T^{'}) - Θ (T^{'} - T) [X_{ich} (T), X_{J} (T^{'})] \\ \overset{(1) + (3)}{=} & X_{ich} (T) X_{J} (T^{'}) \\ - Θ (T^{'} - T) ([A_{ich} (T), A_{J}^{†} (T^{'})] + [A_{ich}^{†} (T), A_{J} (T^{'})]) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} T(&X_i(t)X_j(t^{\prime}))\cr ~=~& \Theta(t-t^{\prime}) X_i(t)X_j(t^{\prime}) +\Theta(t^{\prime}-t) X_j(t^{\prime})X_i(t)\cr ~=~&X_i(t)X_j(t^{\prime}) -\Theta(t^{\prime}-t) [X_i(t),X_j(t^{\prime})]\cr ~\stackrel{(1)+(3)}{=}&~X_i(t)X_j(t^{\prime})\cr &-\Theta(t^{\prime}-t) \left([A_i(t),A^{\dagger}_j(t^{\prime})]+[A^{\dagger}_i(t),A_j(t^{\prime})]\right).\end{align} \tag{6}$

Auf der anderen Seite die normale Bestellung $::$ verschiebt definitionsgemäß den Erzeugungsteil nach links vom Vernichtungsteil, so dass

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} : X_{ich} (T) X_{J} (T^{'}) : \overset{(1)}{=} & X_{ich} (T) X_{J} (T^{'}) \\ - & [A_{ich} (T), A_{J}^{†} (T^{'})], \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}:X_i(t)X_j(t^\prime):~\stackrel{(1)}{=}~& X_i(t)X_j(t^{\prime}) \cr ~-~& [A_i(t),A^{\dagger}_j(t^{\prime})], \end{align}\tag{7}$

\begin{matrix} (8) & ⟨ Ω | : X_{ich} (T) X_{J} (T^{'}) : | Ω ⟩ \overset{(1) + (2)}{=} 0. \end{matrix}

$\langle \Omega | :X_i(t)X_j(t^{\prime}):|\Omega\rangle~\stackrel{(1)+(2)}{=}~0.\tag{8}$

Der Unterschied von Gl. (6) und (7) ist die linke Seite. von Gl. (5):

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} T ( & X_{ich} (T) X_{J} (T^{'})) - : X_{ich} (T) X_{J} (T^{'}) : \\ \overset{(6) + (7)}{=} & Θ (T - T^{'}) [A_{ich} (T), A_{J}^{†} (T^{'})] \\ + & Θ (T^{'} - T) [A_{J} (T^{'}), A_{ich}^{†} (T)], \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} T(& X_i(t)X_j(t^{\prime})) ~-~:X_i(t)X_j(t^{\prime}): \cr ~\stackrel{(6)+(7)}{=}& \Theta(t-t^{\prime})[A_i(t),A^{\dagger}_j(t^{\prime})] \cr ~+~& \Theta(t^{\prime}-t)[A_j(t^{\prime}),A^{\dagger}_i(t)],\end{align}\tag{9}$

die proportional zum Identitätsoperator ist ${\bf 1}$ nach Annahme (4). Jetzt Sandwich Gl. (9) zwischen dem BH $\langle \Omega |$ und der ket $|\Omega\rangle$ . Da die rechte. von Gl. (9) ist proportional zum Identitätsoperator ${\bf 1}$ , die unsandwiched rhs. muss gleich der eingeklemmten rechten sein. mal der Identitätsoperator ${\bf 1}$ . Daher auch die ungesandwichte linke Seite. von Gl. (9) muss auch gleich den eingeklemmten linken sein. mal der Identitätsoperator ${\bf 1}$ . Dies ergibt Gl. (5). $\Box$

Ein ähnliches Argument gilt für Gl. (7) ergibt das

$\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} X_{ich} (T) & X_{J} (T^{'}) - : X_{ich} (T) X_{J} (T^{'}) : \\ = & ⟨ Ω | X_{ich} (T) X_{J} (T^{'}) | Ω ⟩ 1 \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} X_i(t)&X_j(t^{\prime}) ~-~:X_i(t)X_j(t^{\prime}):\cr ~=~&\langle \Omega | X_i(t)X_j(t^{\prime})|\Omega\rangle ~{\bf 1} \end{align}\tag{10}$

dh eine Version von Gl. (5) ohne Zeitreihenfolge $T$ .

--

$^1$ Die Betreiber $A_i$ Und $A^{\dagger}_i$ müssen im Folgenden nicht hermitesch konjugiert sein. Wir gehen implizit davon aus, dass das Vakuum $|\Omega\rangle$ ist normalisiert: $\langle \Omega | \Omega\rangle=1$ .

Vielen Dank @Qmechanic, dieser klare Beweis ist genau das, was ich brauchte. Jetzt muss ich nur noch prüfen, ob die Voraussetzungen in meinem konkreten Fall zutreffen.
@Qmechanic, für die Operatoren $A$ Und $B$ , ist die Gleichung $\langle 0|A+B|0\rangle=\langle 0|A|0\rangle+\langle 0|B|0\rangle$ befriedigt? Wenn es zufrieden ist, können wir die linke Seite einklemmen. von Gl. (1) und die Gleichung wird einfach $\langle 0|:X_i(t)X_j(t'):|0\rangle=0$ . Aber eine solche Gleichung schlägt manchmal fehl.
Ich habe die Antwort aktualisiert. Es scheint, dass Sie über Situationen sprechen, in denen Definitionen von Fock-Vakuum und normaler Ordnung verwendet werden, die nicht richtig kompatibel / aufeinander abgestimmt sind.

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