Zeitgeordnetes Produkt zweier normalgeordneter Produkte von Feldern

Question

Zeitgeordnetes Produkt zweier normalgeordneter Produkte von Feldern

Benutzer115687

Angenommen, Sie haben eine skalare Feldtheorie mit Feldoperatoren $\phi(x)=\phi(x)_+ + \phi(x)_-$ die in Vernichtungs- und Zerstörungsoperatoren zerlegt werden können. Lassen

D (X - j) =< 0 | T (ϕ (X) ϕ (j)) | 0 >

$D(x-y) = <0|T(\phi(x)\phi(y))|0>$ der Verbreiter dieser Theorie sein. Ich versuche den Zusammenhang zu beweisen

< 0 | T (: ϕ (X)^{N} :: ϕ (j)^{M} :) | 0 >= N! D (X - j)^{N} δ_{N, M} .

$<0|T(:\phi(x)^n::\phi(y)^m:)|0> = n!\: D(x-y)^n \delta_{n,m}.$ Mein erster Lösungsversuch bestand darin, die Definitionen von zeitlich geordneten und normal geordneten Produkten einzufügen und die Zerlegung von zu verwenden

ϕ (x)

$\phi(x)$ und der Multinomialsatz zum Ausdrücken

ϕ (x)^{n}

$\phi(x)^n$ Und

ϕ (y)^{m}

$\phi(y)^m$ . Nachdem mich das nirgendwohin geführt hatte, schlug ich Wicks Theorem nach und versuchte es anzuwenden. Aber ich weiß nicht, was die Kontraktion von normal bestelltem Produkt mit normal bestelltem Produkt ist. Ich weiß, dass Sie es für Ausdrücke wie verwenden können

< 0 | T (: ϕ (X)^{N} ϕ (j)^{M} :) | 0 >,

$<0|T(:\phi(x)^n\phi(y)^m:)|0>,$ aber mein Problem ist offensichtlich ein anderes. Dann habe ich versucht, die Beziehung durch vollständige Induktion zu beweisen, was fehlschlug, weil ich die nicht ausdrücken konnte

(n + 1)

$(n+1)$ Begriff auf der linken Seite in Bezug auf das Ergebnis für den Fall

n

$n$ . Mein letzter Ausweg war, das für den Fall zu klären

n = m = 2

$n=m=2$ und mich dann zu willkürlichen Kräften hocharbeiten. Ich habe mein Problem in Peskin und Schröders Buch und auch in Schwabels Advanced Quantum Mechanics nachgeschlagen, aber nichts als die Definitionen und die einführenden Beispiele gefunden. Ich habe die Fragen genau studiert

Ich habe jetzt seit Manntagen über dieses Problem nachgedacht und jede Hilfe oder Idee, von der ich ausgehen kann, wäre sehr dankbar.

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QMechaniker · Answer 1

Hinweise:

Ausgangspunkt ist die 2-Punkte-Beziehung
$\begin{matrix} (1) & T (ϕ (X) ϕ (j)) - : ϕ (X) ϕ (j) : = C (X, j) 1, C (X, j) \equiv ⟨ 0 | T (ϕ (X) ϕ (j)) | 0 ⟩, \end{matrix}$ $T(\phi(x)\phi(y)) ~-~:\phi(x)\phi(y): ~=~ C(x,y)~{\bf 1}, \qquad C(x,y)~\equiv~\langle 0 | T(\phi(x)\phi(y))|0\rangle,\tag{1}$ vgl. dieser Phys.SE-Beitrag.
Das relevante Wicksche Theorem ist ein verschachteltes Wicksches Theorem
$T (: ϕ (X)^{N} :: ϕ (j)^{M} :) = \exp (C (X, j) \frac{\partial}{\partial ϕ (X)} \frac{\partial}{\partial ϕ (j)}) : ϕ (X)^{N} ϕ (j)^{M} :$ $T(:\phi(x)^n::\phi(y)^m:)~=~\exp\left( C(x,y)\frac{\partial}{\partial\phi(x)}\frac{\partial}{\partial\phi(y)}\right): \phi(x)^n \phi(y)^m:$ $\begin{matrix} (2) & = \sum_{R = 0}^{Mindest (N, M)} \frac{N!}{(N - R)!} \frac{M!}{(M - R)} \frac{C (X, j)^{R}}{R!} : ϕ (X)^{N - R} ϕ (j)^{M - R} :, \end{matrix}$ $~=~\sum_{r=0}^{\min(n,m)} \frac{n! }{(n\!-\!r)!} \frac{m!}{(m\!-\!r)}\frac{C(x,y)^r}{r!} : \phi(x)^{n-r} \phi(y)^{m-r}:, \tag{2}$ vgl. meine Phys.SE-Antwort hier . Der Hauptpunkt ist, dass bei der Anwendung des verschachtelten Wick-Theorems auf die lhs. von Gl. (2) sollte man nur alle möglichen Kontraktionen zwischen verschiedenen Symbolen normaler Ordnung einbeziehen und Kontraktionen ausschließen, die ausschließlich innerhalb desselben Symbols normaler Ordnung liegen.
Erinnern Sie sich daran, dass
$\begin{matrix} (3) & ⟨ 0 | : ϕ (X_{1}) \dots ϕ (X_{N}) : | 0 ⟩ = δ_{N}^{0} . \end{matrix}$ $\langle 0 | :\phi(x_1)\ldots \phi(x_n):|0\rangle ~=~\delta_n^0. \tag{3}$
Kombinieren Sie Gl. (2) und (3) um auf die gesuchte Identität zu schließen
$\begin{matrix} (4) & ⟨ 0 | T (: ϕ (X)^{N} :: ϕ (j)^{M} :) | 0 ⟩ = N! δ_{N}^{M} C (X, j)^{N} . \end{matrix}$ $\langle 0 |T(:\phi(x)^n::\phi(y)^m:)|0\rangle~=~n!~\delta_n^m ~C(x,y)^n. \tag{4}$

vielen, vielen Dank für deine klare Antwort. Es hat mir sehr geholfen.

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Benutzer115687

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QMechaniker

Benutzer115687

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