OPE-Doppelkontraktionen zwischen TTT und eikXeikXe^{ikX}

Die Kontraktionen sind gegeben durch:

$$:A::B:=\exp{\int -\frac{\alpha'}{2}\eta^{\mu\nu}\ln |z_1-z_2|^2\,\delta_{X^{\mu}(z_1,\bar{z}_1)}^{(A)}\delta^{(B)}_{X^{\nu}(z_2,\bar{z}_2)}} :AB:$$

In dem Fall wo$B=e^{ikX(z,z)}$beachten Sie, dass$B$ist ein Eigenfunktional von$\delta^{B}_{X^{\nu}(z_2,\bar{z}_2)}$:

$$\delta^{B}_{X^{\nu}(z_2,\bar{z}_2)}e^{ikX(z,z)}=ik_{\nu}\delta^2(z-z_2)e^{ikX(z,\bar{z})}$$

also müssen wir nur tun$\delta^{B}_{X^{\nu}(z_2,\bar{z}_2)}\rightarrow ik_{\nu}\delta^2(z-z_2)$, bekommen

$$:A::e^{ikX(z,\bar{z})}:=\exp{\int -\frac{\alpha'}{2}\eta^{\mu\nu}\ln |z_1-z_2|^2\,\delta_{X^{\mu}(z_1,\bar{z}_1)}^{(A)}(ik_{\nu}\delta^2(z-z_2)}) :Ae^{ikX(z,\bar{z})}:$$

und dann kommt die Kontraktion$A$, tun

$$X(z',\bar{z}')^{\mu}\rightarrow \frac{\alpha'}{2}ik^{\mu}\ln|z'-z|^2$$

In Ihrem Fall wo$A=\partial X(z,\bar{z}).\partial X(z,\bar{z})$wir haben$2$Möglichkeiten, nur einen der Verträge abzuschließen$X$'s und nur eine Möglichkeit, beide zusammenzuziehen$X$'S

TL;DR: Nein, die Reihenfolge der Doppelkontraktion$^1$ausgeblendet werden, dh man soll nur die Anzahl der Doppelkontraktionspaare zählen.

Tipp: Um keine kombinatorischen Fehler zu machen, sollte man vielleicht zuerst ein Monom anstelle des vollständigen Exponential-/Vertex-Operators betrachten. Zum Beispiel$^2$

$${\cal R}( :X(z)^n::X(w)^m:)$$ führt zu $$n (n-1) \times m (m-1) \times \frac{1}{2!} \text{ double contractions},$$ und so weiter.

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$^1$Hinweis für den Leser: In Tongs Normalisierung kommt jede Kontraktion mit einem Faktor$\frac{\alpha^{\prime}}{2}$, vgl. Zweitletzte Formel auf S. 80.

$^2$Hier${\cal R}$bezeichnet die oft implizit geschriebene radiale Ordnung. Die OPE-Berechnung besteht aus der Auswertung eines verschachtelten Wick-Theorems zwischen radialer Ordnung${\cal R}$und normale Bestellung$::$, vgl. meine Phys.SE-Antwort hier .