Es gibt zu viele Wicksche Theoreme!

Diverse Kommentare zum Beitrag (v3):

1. Man kann spekulieren, dass scheinbar ungeordnete Operatoren in der Praxis immer geordnet sind. etwas Ordnung.

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3. Solange die Felder$\phi_i=\phi_i^{(+)}+\phi_i^{(-)}$linear in Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind, sollte dies kein Problem darstellen.

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5. Der Satz von Isserlis ist verwandt mit der Pfad-Integral-Formulierung des Satzes von Wick, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

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Die wichtigste Verallgemeinerung der Operatorformulierung des Wick-Theorems (im Vergleich zu meiner Phys.SE-Antwort ) besteht darin, Kontraktionen zu berücksichtigen, die nicht zum Algebra-Zentrum gehören. Dies wird häufig in CFT verwendet, siehe z. B. Ref. 1.

Verweise:

1. J. Fuchs, Affine Lie-Algebren und Quantengruppen, (1992); Gl. (3.1.35).

Ich wollte den Satz von Wick aus der Sicht von 5 erweitern. Dies ist aus der Sicht der euklidischen Freiwegintegrale. Ich denke, diese Perspektive ist sehr aufschlussreich, aber bestimmte Punkte davon werden in der Literatur nicht hervorgehoben. Die Diskussion ist einfacher, wenn man an ein endlichdimensionales Analogon denkt. Hier drinnen nehmen wir unseren Raum der Felder als den endlichdimensionalen Raum$V=\mathbb{R}^n$. Auf diesen Raum können wir die linearen Koordinaten setzen$\{\phi^i|i\in\{1,\dots,n\}\}$. Zur Verdeutlichung der körperlichen Intuition sollte man an den Index denken$i$als Position in einer diskreten Raumzeit mit$n$Punkte.

In dieser Einstellung wird eine freie Theorie durch eine (nicht normierte) Korrelationsfunktion bestimmt, die über ein Gaußsches Pfadintegral erhalten wird, das in diesem Fall nur ein endlichdimensionales Integral ist. Observablen werden durch Polynomfunktionen bestimmt$F(\phi)$und die Korrelationsfunktionen sind von der Form

$$\langle F(\phi)\rangle=\int\text{d}^n\phi\, e^{-\frac{1}{2}\phi^iA_{ij}\phi^j}F(\phi),$$ für symmetrisch und positiv definit$A_{ij}$.

Wicks Theorem in Version 5 kann nach der Diskussion in https://arxiv.org/abs/1202.1554 leicht bewiesen werden . Dies wird erreicht, indem beachtet wird, dass das Integral einer totalen Ableitung verschwindet, da die Exponentialfunktion an der Grenze aufgrund der positiven Bestimmtheit von abfällt$A_{ij}$. In der Tat durch die Produktregel

$$0=\int\text{d}^n\phi\,\frac{\partial}{\partial\phi^i}\left(e^{-\frac{1}{2}\phi^iA_{jk}\phi^j}\phi^{r_1}\cdots\phi{r_s}\right)=-A_{ij}\langle\phi^j\phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle+\sum_{t=1}^s\delta^{r_l}_i\langle \phi^{r_1}\cdots\widehat{\phi^{r_l}}\cdots\phi^{r_s}\rangle,$$ bei dem die$\widehat{\phi^{r_l}}$bedeutet, dass wir diesen Begriff überspringen. Bezeichnung durch$A^{ij}$die inverse Matrix$A^{ij}A_{jk}=\delta^i_k$, können wir diese Gleichung zu lösen $$\langle \phi^i\phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle=\sum_{t=1}^sA^{ir_l}\langle \phi^{r_1}\cdots\widehat{\phi^{r_l}}\cdots\phi^{r_s}\rangle.$$ Das ist Wicks Theorem! Es besagt, dass wir zur Berechnung der Korrelationsfunktion nur alle möglichen Kontraktionen von berücksichtigen müssen$\phi^i$bei allen anderen Termen nimmt jede Kontraktion einen Propagator heraus$A^{ir_l}=\langle \phi^i\phi^{r_l}\rangle$. Dann zeigt das eine einfache Induktion $$\langle \phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle=\sum_{P\in\text{Pair}(s)}\prod_{\{a,b\}\in P}\langle\phi^a\phi^b\rangle$$

Nun können die anderen Wickschen Theoreme wie folgt aus diesem erhalten werden. Zuerst müssen wir den Begriff der normalen Ordnung in dieser Einstellung definieren. Diese Definition ist besonders körperlich. Lassen$F(\phi)$sei ein Monom in$\phi$mögen$F(\phi)=\phi^{i_1}\cdots\phi^{i_u}$. Wir definieren die normale Reihenfolge$:F(\phi):$das Polynom sein, so dass alle Korrelationen$\langle:F(\phi):G(\phi)\rangle$für ein Polynom$G(\phi)$wird erhalten, indem alle Wick-Kontraktionen berücksichtigt werden, die dazu beitragen$\langle F(\phi)G(\phi)\rangle$außer denen mit Kontraktionen von zwei Feldern innerhalb des Monoms$F(\phi)$.

Aus dieser Definition geht nicht hervor, ob ein solches Polynom existiert oder ob es eindeutig ist. Eindeutigkeit sollte eine Folge eines Satzes sein, der besagt, dass ein Polynom vollständig durch Momente bestimmt ist. Jedenfalls kann man zum Existenzbeweis eine explizite Konstruktion angeben. Einzigartigkeit wird daraus mehr oder weniger deutlich.

Für die normale Ordnung eines bilinearen Monoms ist die Konstruktion aus dem Satz von Wick klar

$$\langle \phi^i\phi^j\phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle=\langle\phi^i\phi^j\rangle\langle \phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle+\sum_{t=1}^s\langle\phi^i\phi^{r_l}\rangle\langle \phi^j\phi^{r_1}\cdots\widehat{\phi^{r_l}}\cdots\phi^{r_s}\rangle.$$ Die Korrelation $$\langle:\phi^i\phi^j:\phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle$$ sollte nur aus dem letzten Begriff bestehen. Dann ist klar, was zu tun ist, zu definieren $$:\phi^i\phi^j:=\phi^i\phi^j-\langle\phi^i\phi^j\rangle.$$ Man kann dies für Monome höherer Ordnung wiederholen, aber ich werde es hier nicht tun, da die Berechnungen etwas kompliziert werden.

Im Allgemeinen haben wir den Satz von Wick

$$:\phi^{i_1}\cdots\phi^{i_u}:=\phi^{i_1}\cdots\phi^{i_u}-\sum_{\{a,b\}}\langle\phi^{i_a}\phi^{i_b}\rangle:\phi^{i_1}\cdots\widehat{\phi^{i_a}}\cdots\widehat{\phi^{i_b}}\cdots\phi^{i_u}:-\sum_{\{a,b\},\{c,d\}}\langle\phi^{i_a}\phi^{i_b}\rangle\langle\phi^{i_c}\phi^{i_d}\rangle:\phi^{i_1}\cdots\widehat{\phi^{i_a}}\cdots\widehat{\phi^{i_b}}\cdots\widehat{\phi^{i_c}}\cdots\widehat{\phi^{i_d}}\cdots\phi^{i_u}:-\cdots$$ wo die erste Summe über 1-Kontraktionen ist, ist der zweite Term über 2-Kontraktionen und so weiter. Obwohl die Kombinatorik des Beweises ein wenig chaotisch werden kann, ist das Gesamtbild ziemlich einfach. Die Bedingungen des Formulars$\langle\phi^{i_a}\phi^{i_b}\rangle:\phi^{i_1}\cdots\widehat{\phi^{i_a}}\cdots\widehat{\phi^{i_b}}\cdots\phi^{i_u}:$In der ersten Summe erscheinen diejenigen, die alle Beiträge zu Korrelationsfunktionen aufheben, die eine einzige Wick-Kontraktion enthalten$\phi^{i_1}\cdots\phi^{i_u}$. Ebenso die Bedingungen des Formulars$\langle\phi^{i_a}\phi^{i_b}\rangle\langle\phi^{i_c}\phi^{i_d}\rangle:\phi^{i_1}\cdots\widehat{\phi^{i_a}}\cdots\widehat{\phi^{i_b}}\cdots\widehat{\phi^{i_c}}\cdots\widehat{\phi^{i_d}}\cdots\phi^{i_u}:$Korrelationsfunktionen aufheben, die nur zwei Wick-Kontraktionen enthalten$\phi^{i_1}\cdots\phi^{i_u}$. Dies ist die Form von Wicks Theorem, das in Version 4 erscheint. Es gibt eine explizite induktive Formel für die normale Ordnung.

Lassen Sie mich jetzt auf Version 3 eingehen. In unserem Setting haben wir die normale Ordnung durch ihr Verhalten in Korrelationsfunktionen definiert. Diese werden durch Wegintegrale berechnet, die automatisch zeitlich geordnet sind. Das bedeutet, dass diese im Operatorformalismus Matrixelementen eines zeitlich geordneten Operators entsprechen$\mathcal{T}\hat{\phi}^{i_1}\cdots\hat{\phi}^{i_u}$. Die Version 4 des Wickschen Theorems entspricht also der Version 3, wobei die erstere im Pfadintegralformalismus und die zweite im Operatorformalismus liegt.

Um von Version 4 auf Version 5 zu wechseln, muss man nur beachten, dass ⟨:𝐹(𝜙):⟩=0. Tatsächlich muss man, um eine Antwort ungleich Null zu erhalten, mindestens ein Gradmonom hinzufügen, das dem von 𝐹(𝜙) entspricht. Nur dann werden Kontraktionen auftreten, die keine zwei Elemente innerhalb von 𝐹(𝜙) paaren. Damit verdeutlicht sich übrigens auch der Zusammenhang mit der Erzeugungs-/Vernichtungsaussage, da die dortige normale Ordnung die Vakuum-Erwartungswerte gerade vernichtet, indem Vernichtungsoperatoren nach rechts gesetzt werden. Genauer gesagt ist ersichtlich, dass die normale Ordnung der Erzeugung/Vernichtung für ein Produkt aus zwei Feldern (linear in den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren) ebenfalls gegeben ist durch

$$:\phi^i\phi^j:=\mathcal{T}\phi^i\phi^j-\langle\phi^i\phi^j\rangle.$$ Diese normale Ordnung erfüllt auch die durch den Satz von Wick auferlegte Rekursionsbeziehung, um eine normale Ordnung von Monomen höherer Ordnung in den Feldern zu erhalten. Wir schließen daraus, dass beide Normalordnungen auf Bilinearen zusammenfallen und dieselbe Rekursionsrelation erfüllen. Sie müssen dann immer zusammenfallen.

Auch die OPEs können aus dieser Sicht des Pfadintegralformalismus verstanden werden. Die Hauptidee des kostenlosen Falls ist jedoch die folgende. Um die Operatorproduktentwicklung einer Gruppe von Operatoren zu berechnen, möchten wir sie als eine Reihe wohldefinierter Operatoren an einem einzigen Punkt in der Raumzeit ausdrücken, die mit Koeffizientenfunktionen gewichtet sind, die von den Positionen der ursprünglichen Operatoren abhängen, die als diese abweichen können Positionen nähern sich aneinander an. Wohldefiniert zu sein bedeutet nur, dass seine Korrelationsfunktionen mit anderen weit entfernten Operatoren alle konvergieren. Dies geschieht am einfachsten durch Schreiben des Produkts der Operatoren unter Verwendung des Wickschen Theorems. Dies liegt daran, dass die divergenten Teile innerhalb von Korrelationsfunktionen erscheinen und somit numerische Koeffizienten sind. Alle anderen Operatoren erscheinen innerhalb der normalen Reihenfolge und somit wenn sie in Korrelationsfunktionen eingefügt werden, werden niemals miteinander kontrahiert. Somit gibt es keine Abweichungen bei der Berechnung von Korrelationsfunktionen mit weit entfernten Operatoren.

Die obige Diskussion wird anhand eines Beispiels verdeutlicht. Betrachten Sie die Betreiberprodukterweiterung von$\phi(0)\phi(x)$in einer freien Skalarfeldtheorie. Man könnte versuchen, dies an eine Reihe von Operatoren zu schreiben$0$von Taylor erweitert

$$\phi(0)\phi(x)=\phi(0)^2+x\phi(0)\partial\phi(0)+\frac{1}{2}x^2\phi(0)\partial^2\phi(0)+\cdots.$$ In dieser Serie sind jedoch alle Operatoren schlecht definiert. Zum Beispiel, $$\langle\phi(0)^2\phi(x)\phi(y)\rangle=\langle\phi(0)^2\rangle\langle\phi(x)\phi(y)\rangle+2\langle\phi(0)\phi(x)\rangle\langle\phi(0)\phi(y)\rangle$$ und dieser Begriff weicht ab, auch wenn$x$und$y$voneinander entfernt sind und$0$. Andererseits können wir nach Anwendung des Wickschen Theorems Taylor erweitern $$\phi(0)\phi(x)=:\phi(0)\phi(x):+\langle{\phi(0)\phi(x)}\rangle=\langle{\phi(0)\phi(x)}\rangle+:\phi(0)^2:+x:\phi(0)\partial\phi(0):+\frac{1}{2}x^2:\phi(0)\partial^2\phi(0):+\cdots.$$ Dies ist genau in der OPE-Form. Der erste Term ist eine numerische Funktion, die als divergiert$x\rightarrow 0$multipliziert mit einem wohldefinierten Operator, dem Identitätsoperator. Die restlichen Terme sind ebenfalls gut definierte Operatoren. Jetzt zum Beispiel $$\langle:\phi(0)^2:\phi(x)\phi(y)\rangle=2\langle\phi(0)\phi(x)\rangle\langle\phi(0)\phi(y)\rangle,$$ was wohldefiniert ist, solange$x$,$y$, und$0$voneinander getrennt sind. Insbesondere sehen wir, dass der divergente Teil der OPE ist $$\phi(0)\phi(x)\sim\langle{\phi(0)\phi(x)}\rangle,$$ die in der Freifeldtheorie stark verwendet wird.

Dieses Verfahren kann mit Hilfe der Störungstheorie auf den Wechselwirkungsfall erweitert werden. Lassen Sie mich dies der Deutlichkeit halber mit erklären$\phi^4$Theorie. In der Störungstheorie haben wir

$$\langle\phi(0)\phi(x)\cdots\rangle=\int\mathcal{D}\phi e^{-\frac{1}{2\hbar}\int\text{d}^D y\phi(-\Delta)\phi+\frac{\lambda}{4!\hbar}\int\text{d}^Dy\phi^4}\phi(0)\phi(x)\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{\lambda^n}{4!^n\hbar^n}\int\text{d}^Dy_1\cdots\text{d}^Dy_n\int\mathcal{D}\phi e^{-\frac{1}{2\hbar}\int\text{d}^D y\phi(-\Delta)\phi}\phi(0)\phi(x)\phi(y_1)^4\cdots\phi(y_n)^4\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{\lambda^n}{4!^n\hbar^n}\int\text{d}^Dy_1\cdots\text{d}^Dy_n\langle\phi(0)\phi(x)\phi(y_1)^4\cdots\phi(y_n)^4\cdots\rangle_G$$ Der Index$G$zeigt an, dass die letzte Korrelation in der freien Theorie verwendet wird. Dementsprechend können wir den Satz von Wick auf jeden dieser Terme einzeln anwenden.

Für die$n=0$Laufzeit haben wir die Beiträge zur Betreiberprodukterweiterung

$$\langle\phi(0)\phi(x)\cdots\rangle_G=\langle:\phi(0)\phi(x):\cdots\rangle_G+\langle\phi(0)\phi(x)\rangle\langle\cdots\rangle_G$$ Für den ersten Term können wir eine Taylorentwicklung machen$x=0$, genau wie beim kostenlosen Fall. Dies ergibt die$\lambda^0$Beitrag zur OP. Bezüglich$\hbar$, trägt der erste Term bei Ordnung bei$\hbar^0$während die zweite auf Bestellung$\hbar$. Nur der zweite hat abweichende Bezeichnungen wie$x\rightarrow 0$. Darüber hinaus können wir Feynman-Diagramme verwenden, um diese zu verfolgen . Wie wir sehen, sind in diesen Diagrammen alle externen Schenkel automatisch normal geordnet, so dass es verständlich ist, dass sie in vollständigen Korrelationsfunktionen nicht miteinander kontrahiert werden sollten. Insbesondere können wir in einer Taylor-Reihe expandieren, wenn diese Schenkel nahe 0 sind.

Betrachten wir nun die Erweiterung über den Wickschen Satz der Ordnung$\lambda$Begriff

$$\frac{\lambda}{4!\hbar}\int\text{d}^Dy\langle\phi(0)\phi(x)\phi(y)^4\cdots\rangle_G$$ . Der erste Term hat keine Kontraktionen $$\frac{\lambda}{4!\hbar}\int\text{d}^Dy\langle:\phi(0)\phi(x)\phi(y)^4:\cdots\rangle_G.$$ Wir können dies mit dem folgenden Feynman-Diagramm darstellen . Wie zuvor sind alle äußeren Beine normal geordnet. Wir sehen auch, dass die äußeren Beine, die vom Scheitel kommen, keine Propagatoren tragen. Dieser Scheitelpunkt trägt zur Ordnung bei$\hbar^{-1}$und hat keine Abweichungen wie$x\rightarrow 0$.

Es gibt 4 Terme, die sich aus 1 Kontraktion ergeben, die durch die Feynman-Diagramme dargestellt werden. Alle diese tragen in Ordnung bei$\hbar^0$und nur die erste divergiert als$x\rightarrow 0$. Diese Abweichung ist jedoch in gewisser Weise bereits durch einen Begriff bei der Bestellung erfasst$\lambda^0$. Tatsächlich können wir alle Begriffe mit dieser Abweichung zusammenfassen

$$\langle\phi(0)\phi(x)\rangle_G\langle:e^{\frac{\lambda}{4!\hbar}\int\text{d}^Dy\phi^4}:\cdots\rangle_G$$

Die Begriffe mit zwei Kontraktionen sind von Alle diese tragen zur Bestellung bei$\hbar$und nur der erste (möglicherweise) divergiert als$x\rightarrow 0$(Nun, der zweite weicht auch ab, aber wir haben diese Art von Begriffen bereits oben besprochen). Dieser Begriff ist wirklich interessant und wird in https://pirsa.org/18030064 gründlich untersucht . Es wird gezeigt, dass es divergiert$D=4$, und tatsächlich hat seine Divergenz die Form

$$\frac{\lambda}{2\hbar}\int\text{d}^Dy\langle\phi(0)\phi(y)\rangle_G\langle\phi(x)\phi(y)\rangle_G:\phi(0)^2:,$$ beim Erweitern der Außenbeine herum$0$.

Schließlich haben wir die Bedingungen mit 3 Kontraktionen , die alle zur Bestellung beitragen$\hbar^2$aber nur die zweite hat eine neue Divergenz. Diese Divergenz multipliziert den Identitätsoperator.

Zusammenfassend summieren wir für OPEs im Interaktionsfall über Diagramme des obigen Typs. Nicht verbundene Diagramme haben entweder keine Divergenzen als$x\rightarrow 0$(Wenn es keinen Pfad gibt, der die verbindet$\phi(0)$und$\phi(x)$Ecken) oder ihre Divergenzen erscheinen bereits in einem zusammenhängenden Diagramm niedrigerer Ordnung in der Störungstheorie. Als abschließende Bemerkung leiden alle diese Diagramme auch unter Schleifendivergenzen, die wie in der Störungsquantenfeldtheorie üblich renormiert werden müssen.

Ich werde eine Antwort geben, um zu erklären, warum es zu viele Wicksche Theoreme in der Physik der kondensierten Materie oder der Vielteilchenphysik gibt.

Tatsächlich hängt die Bedeutung des Satzes von Wick eng mit der Berechnung der Funktion von Green zusammen. Green-Funktionstechniken in der Physik der kondensierten Materie oder in der Vielkörperphysik beruhen normalerweise auf der Erweiterung der betreffenden Green-Funktion (enthält im Allgemeinen quartische Terme im Hamiltonian) in einer unendlichen Reihe höherer Green-Funktionen für ein nicht wechselwirkendes lösbares System und eine anschließende Kontraktion in Produkte der Ein-Teilchen-Green-Funktion. Diese Zerlegung wird durch die Verwendung anregender Diagrammdarstellungen stark vereinfacht. Die strenge Grundlage dieses Verfahrens ist als Theorem von Wick bekannt.

• Das erste Treffen

Wir treffen zuerst auf Wicks Theorem, um die Vielkörper-Störungsausdehnung der Nulltemperatur-Green-Funktion zu formulieren, in der das Problem durch Hamiltonian beschrieben werden kann:

$$H=H_0+H_i$$ wo $H_i$ist die komplexe Vielteilchenwechselwirkung.

• Das zweite treffen

Wir werden dem Satz von Wick wieder begegnen, wenn wir die Vielkörperentwicklung der endlichen Temperatur-Green-Funktion durchführen, in der das Problem auch durch Hamiltonian beschrieben werden kann$H=H_0+H_i$. Der große Unterschied zur Nulltemperatur-Green-Funktion besteht darin, dass sich das System nicht mehr in einem Grundzustand befindet, sondern in einem durch die Dichtematrix gemischten Zustand

$$\rho = \dfrac{e^{-\beta H}}{Tr[e^{-\beta H}]}.$$ Man kann sehen, dass die Vielteilchen-Dichtematrix im Gleichgewicht auch Vielteilchen-Wechselwirkungen enthält. Um die gleichzeitige Erweiterung sowohl der Dichtematrix als auch des Zeitentwicklungsoperators zu formulieren: $$U(t)=e^{-i H t/\hbar}$$ Matsubaras Strategie: Ersetzen $\tau=it$und behandeln $\tau$als reelle Zahl. Als Ergebnis dieser Ersetzung wird eine Vielkörper-Störungsausdehnung möglich.

• Das dritte Treffen

Keldysh-Formalismus: Dieser eignet sich zur Untersuchung von Nichtgleichgewichts-Vielteilchenproblemen. (Hier ist das Theorem von Wick sehr ähnlich wie bei einer Nulltemperatur.)

• $\cdots \cdots$

Die folgenden Links sind die empfohlene Literatur, um den Satz von Wick zu beweisen und die Wechselbeziehungen zwischen verschiedenen Versionen des Satzes von Wick zu diskutieren.

1. Wick-Theorem für allgemeine Anfangszustände ;

2. Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichts-Vielteilchen-Störungstheorie ;