Identifizieren Sie die Koeffizienten der Operator Product Expansion (OPE)

Man leitet es aus Gleichung (2.3.11) ab, das ist

$$\text{Res}_{z \to z_0} j(z) {\cal A}(z_0,{\bar z}_0) + \overline{\text{Res}}_{{\bar z} \to {\bar z}_0} {\tilde j}({\bar z}) {\cal A}(z_0, {\bar z}_0) = \frac{1}{i \epsilon} \delta {\cal A}(z_0, {\bar z}_0)$$ Dies ist die Ward-Identität. Wenn $j(z) = i v(z) T(z)$wir finden (nur mit Fokus auf den holomorphen Teil) $$\text{Res}_{z \to z_0} i v(z) T(z) {\cal A}(0,0) = \frac{1}{i \epsilon} \delta {\cal A}(z_0, {\bar z}_0) = i v(z) \partial {\cal A}(0,0)$$ Konzentrieren wir uns nun zunächst auf Übersetzungen. Hier $v(z) = v$(Konstante). Unter Übersetzungen $\delta {\cal A}(0,0) = - \epsilon v \partial {\cal A}(0,0)$. Die obige Gleichung lautet dann $$i v\partial {\cal A}(0,0) = i v \text{Res}_{z \to 0} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{ {\cal A}^{(n)}(0,0)}{z^{n+1}} = i v {\cal A}^{(0)}(0,0)$$ Daher $${\cal A}^{(0)}(0,0) = \partial {\cal A}(0,0)$$ Betrachten Sie nun die Transformation unter Skalierung $v(z) = z$. In diesem Fall $${\cal A}'(z', {\bar z}) = (1 + \epsilon )^{-h} {\cal A}(z,{\bar z}) \implies \delta {\cal A}(z , {\bar z}) = \epsilon \left[ - h {\cal A}(z,{\bar z})- z \partial{\cal A}(z, {\bar z}) \right]$$ Wenn wir es in die frühere Gleichung einsetzen, finden wir $$h {\cal A}(0,0) = \text{Res}_{z \to z_0} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{ {\cal A}^{(n)}(0,0)}{z^{n}} = {\cal A}^{(1)}(0,0)$$ Setzen wir dies wieder in die Gleichung ein, finden wir $$T(z) {\cal A}(0,0) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{ {\cal A}^{(n)}(0,0)}{z^{n}} = \cdots + \frac{h {\cal A}(0,0)}{z^2} + \frac{\partial {\cal A}(0,0) }{z} + \cdots$$

Sie haben 2 Arten von Transformationen, die Ihnen helfen, das OPE zu finden$(2.4.14)$, Dilatationen$(2.4.13)$und Übersetzungen.

Für jede dieser Transformationen müssen wir infinitesimale Transformationsgrößen identifizieren$v(z)$definiert von:$z' = z+\epsilon v(z)$und die infinitesimale Modifikation der Felder$\delta A(z,\bar z)$. Der Strom wird durch gegeben$j(z) = i v(z)T(z)$ $(2.4.5)$, werden wir Ward-Identitäten verwenden$(2.3.11)$:

$$Res_{z \rightarrow z_0} (j(z)A(z_0, \bar z_0)) + \bar Res_{\bar z \rightarrow \bar z_0}(\bar j(z)A(z_0, \bar z_0)) = \frac{1}{i \epsilon} \delta A(z_0, \bar z_0)$$

Wir nehmen ein OPE der Form an:

$T(z) A(0,0) \sim \cdots + \frac{a}{z^2}A(0,0) + \frac{b}{z} \partial A(0,0)+\cdots$, Wo$a$Und$b$zu bestimmen sind.

Dilatationen

Die infinitesimale Transformation entsprechend$z'= \zeta z$, benutzt$\zeta = 1 + \epsilon$,$z' = z +\epsilon z$, also hier$v(z) = z$; Und$\bar v(z) = \bar z$

Die Transformation von Feldern ist$A(z',\bar z') = \zeta^{-h}\bar \zeta^{- \tilde h} A(z,\bar z)$, entspricht dies einer infinitesimalen Transformation$\delta A(z, \bar z) = - \epsilon h~ A(z,\bar z) - \bar \epsilon \tilde h~ A(z,\bar z)$

Wenn wir also die Ward-Identität anwenden und nur den holomorphen Teil beibehalten, sehen wir Folgendes:

$$Res_{z \rightarrow 0}(i ~z ~T(z)~A(0,0)) = \frac{1}{i ~\epsilon}(- \epsilon h A(0,0))$$

Das bedeutet, dass$T(z)~A(0,0)$hat eine Komponente$\frac {h}{z^2}A(0,0)$, um einen Pol mit dem richtigen Rückstand zu haben.

Übersetzungen

Hier$v(z) = v$= Konstante; Und$\delta A = - \epsilon (v\partial A + \bar v \bar \partial A)$. Wenn wir also die Ward-Identität anwenden und den holomorphen Teil beibehalten, erhalten wir:

$$Res_{z \rightarrow 0}(i ~v ~T(z)~A(0,0)) = \frac{1}{i ~\epsilon}(- \epsilon v \partial A(0,0))$$

Das bedeutet, dass$T(z)~A(0,0)$hat eine Komponente$\frac {1}{z}A(0,0)$, um einen Pol mit dem richtigen Rückstand zu haben.

So endlich :

$$T(z) A(0,0) \sim \cdots + \frac{h}{z^2}A(0,0) + \frac{1}{z} \partial A(0,0)+\cdots$$

Natürlich gilt ein äquivalenter Beweis für den anti-homomorphen Teil.

Lassen Sie uns im Hilbert-Raum-Framework arbeiten, in dem alle beteiligten Objekte Operatoren sind, die auf einen Zustandsraum wirken.

Eine CFT umfasst folgende Objekte (hier betrachten wir nur holomorphe Felder):

Ein Feld$T(z)$genannt (holomorphe Komponente von) Energie-Impuls-Tensor. Seine Moduserweiterung wird geschrieben als

$T(z)=\displaystyle\sum _{i}L_nz^{-n-2}$

Wo$L_n$die sogenannte Virasoro-Algebra erfüllen.

Neben$T(z)$Es kann auch andere konservierte Ströme geben, aber$T(z)$ist unbedingt in jedem CFT vorhanden.

Andere grundlegende Objekte sind sogenannte Virasoro-Primärfelder. Ein Feld$\phi(z)$heißt Virasoro primäres Gewicht$h$wenn unter einem holomorphen Koordinatenwechsel

$\omega =f(z)$

wir haben

$\phi_{new}(\omega)=(\partial_z f(z))^{-h}\phi(z)$

Infinitesimal bedeutet dies, dass wenn wir unsere Koordinaten wie ändern$z\rightarrow z+\epsilon(z)$Dann

$\phi_{new}(z+\epsilon(z))=(1+\partial_z\epsilon(z))^{-h}\phi(z)$

~$\phi(z)-h(\partial_z\epsilon(z))\phi(z)$

Oder mit anderen Worten

$\delta\phi(z)=\phi_{new}(z)-\phi(z)=-\epsilon(z)\partial_z\phi(z)-h(\partial_z\epsilon(z))\phi(z)\tag 1$

In Bezug auf Operatorfelder die infinitesimale Änderung in einem Feld$\phi(z)$(ob primär oder nicht) unter infinitesimaler Koordinatenänderung$z\rightarrow z+\epsilon(z)$wird von gegeben

$\delta\phi(z)=-\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_z} dw\epsilon(w)\mathfrak R(T(w)\phi(z))\tag 2$

Wo$\mathfrak R(T(w)\phi(z))$ist ein radial geordnetes Produkt oder ein sogenanntes Operatorprodukt; Und$C_z$ist eine Kontur über$z$.$^{(*)}$

Um Ihre Frage zu beantworten, müssen Sie nun nur noch überprüfen, ob die OPE

$\mathfrak R(T(w)\phi(z))=\displaystyle \frac{h}{(w-z)^2}\phi(z)+\frac{1}{(w-z)}\partial_z\phi(z)\tag 3$

bei Verwendung in (2) ergibt (1).

Zusammenfassung: Ein Primärfeld erfüllt per Definition (1). Gleichung (2) gilt für alle primären oder nicht primären Felder. Benötigt also dieses Feld$\phi(z)$ist primär seine OPE mit$T$sollte unbedingt die Form (3) haben, so dass (2) (1) ergibt.

Später hinzugefügt : Für einen quasi primären Körper gilt Gleichung (1) nur für Translation, Skalentransformation und spezielle winkeltreue Transformation von Koordinaten (die jeweils erzeugt werden durch$L_{-1},L_0,L_1$) und damit nur zwei Terme des Singularteils seines OPE mit$T(z)$bestimmt werden kann.

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*) In der üblichen QFT müssen wir Quantenoperatoren definieren, die Generatoren von Lorentz-Gruppentransformationen des Minkowski-Raums entsprechen. Dort ist die Änderung in einem Körper unter infinitesimaler Koordinatenänderung durch Kommutator der entsprechenden Operatoren mit dem gegebenen Körper gegeben. Die konforme Gruppe ist unendlich dimensional und daher ist ihre Darstellung im Zustandsraum durch das Feld gegeben$T(z)$und nicht durch eine endliche Menge von Operatoren. Das Integral in (2) ist nichts anderes als der Kommutator

$Q_{\epsilon}^{+}\phi(z)-\phi(z)Q_{\epsilon}^{-}$

Wo

$Q_{\epsilon}^{\pm}=-\frac{1}{2\pi i}\oint_{C^{\pm}} dw\epsilon(w)T(w)$

Wo$C^{+}$ist ein Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius$>|z|$Und$C^{-}$ist ein Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius$<|z|$.