Stringtheorie - OPE und primäre Operatoren

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Stringtheorie - OPE und primäre Operatoren

Physik
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Stringtheorie
konforme-Feld-Theorie

Jakob Konieczny

Zunächst ein Haftungsausschluss: Ich bin neu bei Physics SE und in erster Linie Mathematiker, kein Physiker. Ich entschuldige mich im Voraus für die möglicherweise schlechte Qualität der Frage und danke Ihnen für Ihre Geduld.

Ich versuche derzeit, einige Grundlagen der Stringtheorie zu verstehen, basierend auf dem Skript von D. Tong, verfügbar unter: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string.html . Ich bin sehr verwirrt über die OPE und einige damit zusammenhängende Probleme. (Zur Definition siehe das erwähnte Skript, Seite 69 ff. Ich weiß nicht genug, um zu wissen, was ich hier erwähnen soll). Ich verstehe, dass eine Reihe von "Operatoren" $O(z)$ sollen an verschiedenen Stellen "eingesetzt" werden $z$ der komplexen Ebene, und die zugrunde liegende Physik soll irgendwie in den singulären Teilen von Ausdrücken kodiert sein $O_1(z) O_2(w)$ mit $w \simeq z$ . Mir ist nicht ganz klar, wie es sein kann, dass die einzelnen Teile irgendwie das einzige zu sein scheinen, was zählt, aber das ist wahrscheinlich zu philosophisch.

Ich hätte gerne eine Erklärung der sogenannten primären Operatoren (Seite 76).

Erstens, was ist die Intuition dahinter? Gibt es eine physische Einheit, die sie darstellen?

Das sagt die Definition $O(z)$ ist primär , wenn es das OPE mit dem Spannungstensor hat $T(z)$ des Formulars:

T (z) Ö (w) = \frac{H}{(z - w)^{2}} Ö (w) + \frac{\partial Ö (w)}{z - w} + \dots

$T(z)O(w) ~=~ \frac{h}{(z-w)^2}O(w) + \frac{\partial O(w)}{z-w}+\ldots$

Gleichzeitig heißt es, dass dies nur bedeutet, dass die OPE in zweiter Ordnung endet, also würde es so klingen, als ob es immer so wäre , dass, wenn OPE in zweiter Ordnung endet, die OPE diese besondere Form hat. Ist dies der Fall? Insbesondere scheint es, dass wenn $O_1(z)$ ist primär mit $h_1$ Und $O_2(z)$ ist primär mit $h_2$ , Dann $(O_1+O_2)(z)$ hat höchstens den Ordnungspol $2$ , hat aber kein OPE dieser Form (oder verstehe ich es falsch?).

Vibert

Primäre Operatoren sind die höchstgewichtigen Vektoren von Darstellungen der konformen Gruppe (mit den entsprechenden Gewichten). In der Praxis brauchen Sie also nie nicht-primäre Operatoren zu studieren. Wenn

O_{1}

$O_1$ ist ein Primär mit Gewicht

h_{1}

$h_1$ Und

O_{2}

$O_2$ mit

h_{2}

$h_2$ , Dann

O_{1} + O_{2}

$O_1 + O_2$ ist kein primärer Operator! Unter konformen Abbildungen wird es nicht korrekt transformiert.

Lernen ist ein Chaos

Wir interessieren uns nur für die singulären Terme, da diese Art von Ausdrücken normalerweise in Schleifenintegralen erscheint (sobald die 2D-Raumzeit auf dem Zylinder abgebildet ist, werden Integrale über eine Raumscheibe zu Konturintegralen im komplexen Plan, daher der Fokus auf den singulären Beiträgen). . Außerdem basiert die OPE auf der algebraischen Struktur der (unendlichen Anzahl von) Operatoren in der Theorie, D. Tong sagt ein paar Worte darüber in den gleichen Anmerkungen. Und wie von Vibert erklärt

O_{1} + 0_{2}

$O_1 + 0_2$ ist ein primärer Operator nur für

h_{1} = h_{2}

$h_1=h_2$ gibt dir ein schön definiertes OPE;)

Antworten (1)

Stringtheorie - OPE und primäre Operatoren

Primäre Operatoren sind die höchstgewichtigen Vektoren von Darstellungen der konformen Gruppe (mit den entsprechenden Gewichten). In der Praxis brauchen Sie also nie nicht-primäre Operatoren zu studieren. Wenn $O_1$ ist ein Primär mit Gewicht $h_1$ Und $O_2$ mit $h_2$ , Dann $O_1 + O_2$ ist kein primärer Operator! Unter konformen Abbildungen wird es nicht korrekt transformiert.
Wir interessieren uns nur für die singulären Terme, da diese Art von Ausdrücken normalerweise in Schleifenintegralen erscheint (sobald die 2D-Raumzeit auf dem Zylinder abgebildet ist, werden Integrale über eine Raumscheibe zu Konturintegralen im komplexen Plan, daher der Fokus auf den singulären Beiträgen). . Außerdem basiert die OPE auf der algebraischen Struktur der (unendlichen Anzahl von) Operatoren in der Theorie, D. Tong sagt ein paar Worte darüber in den gleichen Anmerkungen. Und wie von Vibert erklärt $O_1 + 0_2$ ist ein primärer Operator nur für $h_1=h_2$ gibt dir ein schön definiertes OPE;)

Lubos Motl · Answer 1

Bedenkt man die $T(z)O(0)$ OPE, Sie wollen alle Singularbegriffe aufschreiben. Erstens kann es einzelne Terme geben, die singulärer sind als $1/z^2$ . Wenn sie da sind, bedeutet es das $O(0)$ ist kein "Tensorfeld". Zum Beispiel, $T(z)$ selbst ist kein Tensorfeld in CFTs mit $c\neq 0$ denn es gibt eine $c/z^4$ Begriff in der OPE.

Allerdings, selbst wenn $O(0)$ ist ein Tensorfeld und die $1/z^2$ Und $1/z$ sind die einzigen, die in der OPE erscheinen, das heißt nicht $O(0)$ ist ein primärer Operator. Sehr wahrscheinlich ist es keiner. Was der primäre Operator-Ansatz erfordert, dass der Begriff los ist $1/z^2$ ein Vielfaches des ursprünglichen Operators ist $O(0)$ , Das gleiche!

Der primäre Operator ist also gewissermaßen ein "Eigenzustand" des Spannungs-Energie-Tensors. Die meisten allgemeinen Überlagerungen von Primäroperatoren sind keine Primäroperatoren. Wenn Sie den primären Operator durch die Zustandsoperator-Korrespondenz in einen Zustand im Hilbert-Raum übersetzen, ist er ein Eigenzustand von $L_0$ und der höchste Zustandsvektor (ein Vektor in einer Darstellung der Virasoro-Algebra mit dem kleinstmöglichen Eigenwert von $L_0$ unter den Vektoren in der Darstellung). Die Abwesenheit von $1/z^3$ und höhere Singularitäten ist gleichbedeutend mit der Vernichtung des entsprechenden Zustandes durch $L_n$ für positive Werte von $n$ ; und dann gibt es die zusätzliche Bedingung "Eigenzustand" darunter $L_0$ , eine, die im Koeffizienten der gesehen werden kann $1/z^2$ Amtszeit der OPE.

In gewisser Weise ist es unnatürlich, primäre Operatoren mit unterschiedlichen Dimensionen zu kombinieren $h$ in Überlagerungen: Es verstößt gegen die "Dimensionsanalyse", weil diese Operatoren die Einheiten von haben ${\rm mass}^h$ .

Also was passiert, wenn ich nehme $O(0)$ sein $X^\mu(0)$ . Laut Polchinskis Buch, der OPE $T(z)X^\mu(0)$ Ist $\frac{\partial X(0)}{z}$ . Warum gibt es keine $1/z^2$ Begriff? Oder in der Notation oben $O(w)$ ?
Lieber @Afriendlyhelper, es "gibt" einen $1/z^2$ aber sein Koeffizient ist Null, was bedeutet, dass die formale Dimension von $X^\mu(0)$ Ist $h=0$ . Es ist jedoch kein vollwertiger Tensoroperator der Dimension Null, weil $X(z)X(0)\sim\ln|z|^2$ was kein Potenzgesetz ist $z$ .
Danke für deine Antwort. Ich habe mich nur gefragt, weil Polchinski einfach s sagt $T(z)X^\mu(0)$ ohne weitere Erläuterungen in Kapitel 2. Es muss also ein kleines Argument (auch bekannt als h = 0) vorgebracht werden, um das OPE wirklich zu sehen, nicht wahr? Trotzdem danke!
Lieber Lumo, kennen Sie eine kürzere als ein ganzes fettes Buch sanfte Einführung in CFT, in der solche und verwandte Themen etwas detaillierter erklärt werden als das, was David McMohan in Kapitel 5 des ST-entmystifizierten Buches erklärt? Ich würde gerne etwas tiefer in CFT graben, aber wenn ich versuchen würde, hier um eine sanfte Einführung zu bitten, würde ein Moderator es sofort schließen, sobald er es bemerkt, also kann ich Sie nur in einem Kommentar fragen :-/

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Jakob Konieczny

Vibert

Lernen ist ein Chaos

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Lubos Motl

Ein freundlicher Helfer

Lubos Motl

Ein freundlicher Helfer

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