Zeitgeordnete Ableitung und zeitgleicher Kommutator

Question

Zeitgeordnete Ableitung und zeitgleicher Kommutator

Physik
Betreiber
Kommutator
Stringtheorie
konforme-Feld-Theorie

Trung Phan

In Green, Schwarz & Witten Superstring-Theorie, Bd. I, Seite 141, ich verstehe nicht, wie das Ziehen der Ableitung innerhalb des zeitgeordneten Produkts einen zeitgleichen Kommutator ergeben kann:

\begin{matrix} (3.2.44) & \partial_{-} ⟨ T (T_{+ +} (σ, τ) T_{+ +} (σ^{'}, τ^{'})) ⟩ = \frac{1}{2} δ (τ - τ^{'}) ⟨ [T_{+ +} (σ, τ), T_{+ +} (σ^{'}, τ)] ⟩ \end{matrix}

$\tag{3.2.44} \partial_- \langle T \big( T_{++}(\sigma, \tau) T_{++}(\sigma', \tau') \big) \rangle ~=~ \frac12 \delta(\tau - \tau') \langle \big[ T_{++}(\sigma, \tau), T_{++}(\sigma', \tau) \big] \rangle$

Gibt es dafür einen (rigorosen) Beweis?

Antworten (1)

Zeitgeordnete Ableitung und zeitgleicher Kommutator

Michael · Answer 1

Schreiben Sie die Zeitreihenfolge explizit mit Schrittfunktionen aus:

T (A (T_{1}) B (T_{2})) = Θ (T_{1} - T_{2}) A (T_{1}) B (T_{2}) + Θ (T_{2} - T_{1}) B (T_{2}) A (T_{1}) .

$\mathrm{T}\left(A(t_1) B(t_2)\right) = \Theta(t_1 - t_2) A(t_1) B(t_2) + \Theta(t_2 - t_1) B(t_2) A(t_1).$

Jetzt nur noch differenzieren. Wenn die Ableitung auf die Sprungfunktionen trifft, erhalten Sie eine Delta-Funktion:

\partial_{X} Θ (X) = δ (X) .

$\partial_{x} \Theta(x) = \delta(x).$

Verwenden Sie einfach die Kettenregel und die Produktregel wie gewohnt und es sollte herausfallen.

Zeitgeordnete Ableitung und zeitgleicher Kommutator

Trung Phan

Antworten (1)

Michael

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