Impulstensor der Operatorproduktexpansionsenergie

Wir haben die folgende Gleichung von Polchinski (2.4.6)

$$T(z)X^{\mu}(0) \sim \frac{1}{z}\partial X^{\mu}(0) , \tag{2.4.6}$$ Wo $T(z)$ist definiert als $T(z) = -\frac{1}{\alpha'} :\partial X^{\mu} \partial X_{\mu}:\tag{2.4.4}$und : : ist die normale Reihenfolge, die durch definiert ist $$:X^{\mu}(z,\bar{z}): = X^{\mu}(z,\bar{z})\tag{2.1.21a}$$ Und $$:X^{\mu}(z_{1},\bar{z_{1}})X^{\nu}(z_{2},\bar{z_{2}}): = X^{\mu}(z_{1},\bar{z_{1}})X^{\nu}(z_{2},\bar{z_{2}}) + \frac{\alpha'}{2}\eta^{\mu \nu}\ln|z_{12}|^{2}.\qquad \tag{2.1.21b}$$

Wie genau kommen wir aus diesen Definitionen zu Gleichung 2.4.6? Ich verstehe die vorherigen Behauptungen in dem Kapitel, in dem sie einfach in der normalen Reihenfolge erweitert wurden, aber ich kann nicht sehen, wie das Obige abgeleitet wird.

Insbesondere aus http://arxiv.org/abs/0812.4408 (Übung 2.7), wie wird darauf geschlossen

$$T(z)\partial X^{\mu}(0) \sim \frac{1}{z^{2}}\partial X^{\mu}(z) \tag{18}$$

Edit: Nur noch eine Frage: Wir haben die Erweiterung

$$:F::G: = exp(-\frac{\alpha'}{2}\int d^{2}z_{1}d^{2}z_{2}ln|z_{12}|^{2}\frac{\delta}{\delta X^{\mu}_{F}(z_{1},\bar{z_{1}}}\frac{\delta}{\delta X_{G\mu}(z_{2},\bar{z_{2}})}):FG:, \tag{2.2.10}$$

gegeben bei Polchinski.

Gibt es eine Beziehung zwischen dieser und der von Polchinski (2.3.11) gegebenen Ward-Identität?

$$Res_{z \to z_{0}}j(z)A(z_{0},\bar{z_{0}}) + \bar{Res}_{\bar{z}\to \bar{z_{0}}}\tilde{j}(\bar{z})A(z_{0},\bar{z_{0}}) =\frac{1}{i\epsilon}\delta A(z_{0},\bar{z_{0}}), \tag{2.3.11}$$

Geben diese zwei verschiedene Möglichkeiten, das Gewicht eines gegebenen Operators zu berechnen?

Der Grund für diese Frage ist, dass ich, wenn ich versuche, das Obige nach der hier gegebenen Antwort zu berechnen , anscheinend nicht herausfinden kann, wie Gleichung (18) folgen würde. Es scheint, als ob das Lösungshandbuch irgendwie rechts von Gleichung (18) schließt und dann Taylor erweitert, was ergibt$\frac{1}{z^{2}} \partial X^{\mu}(0) + \frac{1}{z} \partial^{2}X^{\mu}(0)$. Wenn man der Berechnung im obigen Link folgen würde, würde man nicht automatisch darauf kommen?

Danke!