Operator-Produkterweiterung mit Derivaten

Ich habe Fragen zur Gleichung (2.2.4) in Polchinski Vol 1:

(2.2.4) X μ ( z 1 , z ¯ 1 ) X v ( z 2 , z ¯ 2 ) = − a ' 2 η μ v ln ⁡ | z 12 | 2 + ∑ k = 1 ∞ 1 k ! [ ( z 12 ) k : X v ∂ k X μ ( z 2 , z ¯ 2 ) : + ( z ¯ 12 ) k : X v ∂ ¯ k X μ ( z 2 , z ¯ 2 ) : ] .

Hier z 12 = z 1 − z 2 , und das :: bedeutet normale Reihenfolge:

(2.1.21b) : X μ ( z 1 , z ¯ 1 ) X v ( z 2 , z ¯ 2 ) := X μ ( z 1 , z ¯ 1 ) X v ( z 2 , z ¯ 2 ) + a ' 2 η μ v ln ⁡ | z 12 | 2 .

Wie können wir nun die normal geordnete Zeichenfolge unterbringen?

: X v ∂ k X μ ( z 2 , z ¯ 2 ) :
in der Definition oben? Ich kann mir vorstellen, dass es mindestens zwei Komplikationen gibt:

  1. ein Derivat beteiligt ist, und

  2. das Produkt Produkt befindet sich nun an einem einzigen Punkt ( z 2 , z ¯ 2 ) , wo wäre der Log-Begriff ln ⁡ | z 12 | 2 gehen?

Antworten (1)

  1. Zunächst sollte betont werden, dass die lhs. von Gl. (2.2.4) und die ersten Terme auf der rechten Seite. von Gl. (2.1.21b) sind radial geordnet, dh es gibt ein implizit geschriebenes radiales Ordnungssymbol R in diesen Gl.

  2. Gl. (2.1.21b) ist die Definition der konformen normalen Ordnung in Bezug auf die radiale Ordnung.

  3. Es wird angenommen, dass der normal geordnete Begriff

    : X μ ( z 1 , z ¯ 1 ) X v ( z 2 , z ¯ 2 ) :   =   ∑ k = 1 ∞ 1 k ! [ ( z 12 ) k : X v ∂ k X μ ( z 2 , z ¯ 2 ) :   +   ( z ¯ 12 ) k : X v ∂ ¯ k X μ ( z 2 , z ¯ 2 ) : ]
    ist analytisch . Die rechte. ist lediglich eine definierende Notation für diese Taylor-Koeffizienten.

  4. Beachten Sie, dass Polchinski mit verschiedenen Begriffen der normalen Ordnung arbeitet, vgl. P. 59-60. Es stellt sich heraus, dass die konforme normale Ordnung und die normale Ordnung der Erzeugung/Vernichtung im Materiesektor (aber nicht im Geistersektor) der Zeichenfolge übereinstimmen.

  5. Denken Sie daran, dass die Zeichenfolge X ( z , z ¯ ) ist eine Fourier-Erweiterung in den Modi Erzeugung/Vernichtung/Oszillator a N , a ~ M , etc. Wenn die normale Bestellung :   : ist die normale Reihenfolge der Erzeugung/Vernichtung, dh mit Erzeugungs- (Vernichtungs-)Operatoren, die nach links (rechts) geordnet sind, dann normale Reihenfolge :   : ist unabhängig von World-Sheet (WS)-Koordinaten, und wir könnten dann im Prinzip alle Koeffizienten in der Taylor-Entwicklung (2.2.4) in Form von Erzeugungs- und Vernichtungsmodi berechnen.

Ich nehme an, dass all diese Konzepte in späteren Abschnitten von Band 1 ausgearbeitet werden. Gl. (2.2.11) beinhaltet jedoch den Umgang mit der normalen Ordnung von Ableitungen. Wie kommen die dritte Zeile und die vierte Zeile (Ableitungen von log) zustande?
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