OPE des Lorentzstroms mit Tachyonscheitel

Diese Frage bezieht sich auf Kapitel 2 in Polchinskis Buch zur Stringtheorie. Auf Seite 43 berechnet Polchinski den Noetherstrom aus Raumzeittranslationen und berechnet dann seinen OPE mit dem Tachyonscheitel, siehe Gleichungen (2.3.13) und (2.3.14)

$$j_a^{\mu} = \frac{i}{\alpha'}\partial_a X^{\mu}, \tag{2.3.13}$$ $$j^{\mu}(z) :e^{i k\cdot X(0,0)}:\quad \sim\ \frac{k^{\mu}}{2 z} :e^{i k\cdot X(0,0)}:\tag{2.3.14}$$

Ich wollte eine ähnliche Berechnung durchführen, jedoch für Raumzeit-Lorentz-Transformationen. Zuerst habe ich den Noetherstrom berechnet, den ich bekomme

$$L^{\mu\nu}(z)~=~ :X^{\mu} \partial X^{\nu}: ~-~ (\mu \leftrightarrow \nu).$$ Als nächstes habe ich die OPE mit der Wick-Formel (in Form von Gleichung 2.2.10) berechnet. Mein Ergebnis ist $$L^{\mu\nu}(z) :e^{i k\cdot X(0)}: \quad \sim\ -\frac{\alpha'}{2} \ln |z|^2\ i k^{\mu} :\partial X^{\nu} e^{i k\cdot X(0)}: ~-~\frac{\alpha'}{2} \frac{1}{z}\ i k^{\nu} :X^{\mu} e^{i k\cdot X(0)}: ~-~ (\mu \leftrightarrow \nu).$$ Ich denke, diese Antwort ist wegen des Logarithmus auf der rechten Seite falsch. Also meine Fragen sind

1. Ist$L^{\mu\nu}(z)$oben tatsächlich den Noetherstrom aus Raumzeit-Lorentz-Transformationen definiert?

2. Ist die OPE$L^{\mu\nu}(z) :e^{i k\cdot X(0)}:$oben richtig?

3. Gibt es einen Link, wo diese Berechnung durchgeführt wird, damit ich mein Ergebnis überprüfen kann?