Berechnen Sie die zentrale Ladung der bcbcbc konformen Feldtheorie

Das brauchst du nicht zu verwenden. Sie können die Kreuzkontraktionen einfach von Hand ausführen. Lass uns das tun. Beachten Sie, dass ich mich nur um die kümmere$\frac{1}{z^4}$Begriff, um die zentrale Gebühr zu bewerten. Wir haben

$$\begin{equation} \begin{split} T(z) T(w) & =\left( : \partial_z b c(z): - \lambda \partial_z : b c (z): \right) \left( : \partial_w b c(w): - \lambda \partial_w : b c (w): \right) \\ & = : (\partial_z b) c(z): : (\partial_w b) c(w): - \lambda \partial_z : b c (z): : (\partial_w b) c(w): \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~- \lambda : (\partial_z b) c(z):\partial_w : b c (w): + \lambda^2 \partial_z : b c (z):\partial_w : b c (w): \end{split} \end{equation}$$ Jetzt behalten wir bei jedem Schritt nur die vollen Kontraktionen bei, um die zentrale Ladung zu extrahieren. Wir finden dann $$\begin{equation} \begin{split} T(z) T(w) &\sim \partial_z \frac{1}{z-w}\partial_w \frac{1}{z-w} - \lambda \partial_z \left( \frac{1}{z-w} \partial_w \frac{1}{z-w} \right)\\ &~~~~~ - \lambda \partial_w \left( \frac{1}{z-w} \partial_z \frac{1}{z-w} \right) + \lambda^2 \partial_z \partial_w \frac{1}{(z-w)^2} \\ &= \frac{-6\lambda^2 + 6 \lambda - 1 }{(z-w)^4} + \cdots \end{split} \end{equation}$$ Wir können dann ablesen $$c = 2 \left( -6\lambda^2 + 6 \lambda - 1 \right) = - 3 (2 \lambda - 1 )^2 + 1$$

Ich weiß, dass viel Zeit vergangen ist, aber vielleicht kann ich meine eigene Antwort auf Ihre Frage geben. Beginnen Sie damit, Ihre Beziehung auf folgende Weise leicht zu ändern

$$\begin{align} :\mathcal{F}::\mathcal{G}:= exp\left(\int d^2z_1d^2z_2\frac{1}{z_{12}}\left[\overrightarrow{\frac{\delta}{\delta b_{\mathcal{F}}(z_1)}}\overleftarrow{\frac{\delta}{\delta c_{\mathcal{G}}(z_2)}}+\overleftarrow{\frac{\delta}{\delta c_{\mathcal{F}}(z_1)}}\overrightarrow{\frac{\delta}{\delta b_{\mathcal{G}}(z_2)}}\right]\right):\mathcal{FG}:. \end{align}$$ Bevor Sie überprüfen, ob diese Formel tatsächlich die richtigen Ergebnisse liefert, beachten Sie, dass sie in b und c symmetrisch sein muss, da es sich um Grassmann-Variablen handelt. Die Pfeile über den funktionalen Ableitungen sind notwendig, um das richtige Ergebnis zu erhalten und bedeuten, dass Sie links/rechts vom entsprechenden Operator handeln müssen. Betrachten wir den folgenden trivialen Fall $$\begin{align} :b(z)::c(w):&=exp\left(\int d^2z_1d^2z_2\frac{1}{z_{12}}\left[\overrightarrow{\frac{\delta}{\delta b_{\mathcal{F}}(z_1)}}\overleftarrow{\frac{\delta}{\delta c_{\mathcal{G}}(z_2)}}+\overleftarrow{\frac{\delta}{\delta c_{\mathcal{F}}(z_1)}}\overrightarrow{\frac{\delta}{\delta b_{\mathcal{G}}(z_2)}}\right]\right):b(z)c(w): \\ &=:b(z)c(w):+\int d^2z_1d^2z_2\frac{1}{z_{12}}\delta^2(z_1,z)\delta^2(z_2,w)\\ &=:b(z)c(w):+\frac{1}{z-w}, \end{align}$$ was genau (2.5.7) in Polchinskis Buch ist. Hier war die Rolle der Pfeile da nutzlos$\mathcal{F}$Und$\mathcal{G}$wurden von einem einzigen Operator gemacht. Lassen Sie uns mit einem komplizierteren (und nützlicheren) Fall fortfahren $$\begin{align} :bc(z)::bc(w):&=:bc(z)bc(w):+\frac{1}{z-w}:c(z)b(w):+\frac{1}{z-w}:b(z)c(w):+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(z-w)^2}+\frac{1}{(z-w)^2}\right)\\ &=:bc(z)bc(w):+\frac{1}{z-w}:c(z)b(w):+\frac{1}{z-w}:b(z)c(w):+\frac{1}{(z-w)^2}. \end{align}$$ Hier sehen Sie, dass der höchste Begriff dem entspricht, was @Prahar in seiner Antwort geschrieben hat. Wenn Sie die gesamte Berechnung des OPE zwischen zwei Energie-Impuls-Tensoren durchführen (was ich getan habe und was ziemlich langwierig ist), erhalten Sie am Ende den folgenden Ausdruck $$\begin{align} T(z)T(w)=\frac{-12\lambda^2+12\lambda-2}{2(z-w)^4}+\frac{2T(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial T(w)}{z-w}, \end{align}$$ aus der Sie die zentrale Ladung ablesen $$\begin{align} c=-12\lambda^2+12\lambda-2. \end{align}$$