Scheitelpunktoperator und normale Ordnung

I) Erinnern Sie sich zuerst an die$\phi\phi$- Betreiberprodukterweiterung ( OPE ):

$$\tag{A} {\cal R}\left\{\phi(z,\bar{z})\phi(w,\bar{w})\right\} ~-~: \phi(z,\bar{z})\phi(w,\bar{w}): ~=~C(z,\bar{z};w,\bar{w}) ~{\bf 1},$$

wobei die Kontraktion als a angenommen wird$c$-Nummer:

$$\tag{B} C(z,\bar{z};w,\bar{w})~=~ \langle 0 | {\cal R}\left\{\phi(z,\bar{z})\phi(w,\bar{w})\right\} |0\rangle ~=~ -\frac{\alpha^{\prime}}{2\pi}\ln\frac{|z-w|^2+a^2}{(2R)^2},$$ vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Abgesehen von der IR-Sperre $R>0$haben wir einen UV-Regler hinzugefügt $a>0$in der Kontraktion (B). Daher bleibt in einem zusammenfallenden Weltblattpunkt die Kontraktion endlich

$$\tag{C} C(z,\bar{z};z,\bar{z})~=~ -\frac{\alpha^{\prime}}{\pi}\ln\frac{a}{2R}.$$

II) Die${\cal R}$Symbol in Gl. (A)-(B) bezeichnet eine radiale Ordnung. Beachten Sie, dass viele Autoren das radiale Ordnungssymbol nicht schreiben${\cal R}$explizit, vgl. zB OP's Gl. (1). Sie ist in der Notation oft nur implizit impliziert. Radiale Reihenfolge${\cal R}$hat eine Interpretation als Zeitordnung und ist notwendig, um mit dem zugehörigen Operatorformalismus und den Korrelationsfunktionen in Kontakt zu treten. Beachten Sie insbesondere, dass die Exponentialfunktion in Gl. (2) kann mit radialer Reihenfolge geschrieben werden

$$\tag{D} {\cal R}\left\{ e^{ik\phi(z,\bar{z})}\right\}.$$

III) Als nächstes verwenden wir den Satz von Wick zwischen der radialen und der normalen Ordnung:

$$\tag{E} {\cal R}\left\{{\cal F}[\phi]\right\} ~=~ \exp \left(\frac{1}{2} \int\! d^2z~d^2w~ C(z,\bar{z};w,\bar{w})\frac{\delta}{\delta\phi(z,\bar{z})} \frac{\delta}{\delta\phi(w,\bar{w})} \right) :{\cal F}[\phi]:,$$

vgl. zB Art.-Nr. 1 und meine Phys.SE-Antwort hier . Hier${\cal F}[\phi]$bezeichnet ein beliebiges Funktional des Feldes$\phi$.

Für das Exponential (D) wird der Satz von Wick (E).

$${\cal R}\left\{ e^{ik\phi(z,\bar{z})}\right\} ~\stackrel{(E)}{=}~\exp \left(\frac{(ik)^2}{2}C(z,\bar{z};z,\bar{z})\right) :e^{ik\phi(z,\bar{z})}:$$ $$\tag{F}~\stackrel{(C)}{=}~ \exp \left(\frac{\alpha^{\prime}k^2}{2\pi}\ln\frac{a}{2R}\right) :e^{ik\phi(z,\bar{z})}: ~=~\left(\frac{a}{2R}\right)^{\frac{\alpha^{\prime}k^2}{2\pi}} :e^{ik\phi(z,\bar{z})},$$

was die gesuchte Formel (2) von OP ist.

IV) Nehmen Sie alternativ an, dass das Feld

$$\tag{G} \phi(z,\bar{z})~=~\varphi(z,\bar{z}) + \varphi(z,\bar{z})^{\dagger}, \qquad \varphi(z,\bar{z})|0\rangle~=~0,$$ kann als Summe eines Vernichtungs- und eines Erzeugungsteils geschrieben werden. Dann wird das UV-regulierte OPE (A).

$$[\varphi(z,\bar{z}),\varphi(z,\bar{z})^{\dagger}] ~\stackrel{(G)}{=}~\phi(z,\bar{z})\phi(z,\bar{z}) ~-~: \phi(z,\bar{z})\phi(z,\bar{z}):$$ $$\tag{H} ~\stackrel{(A)}{=}~C(z,\bar{z};z,\bar{z}) ~{\bf 1}.$$

Außerdem wird der Vertex-Operator

$$:e^{ik\phi(z,\bar{z})}: ~\stackrel{(G)}{=}~e^{ik\varphi(z,\bar{z})^{\dagger}}e^{ik\varphi(z,\bar{z})} ~\stackrel{\text{BCH}}{=}~e^{ik\varphi(z,\bar{z})^{\dagger}+ik\varphi(z,\bar{z})+\frac{1}{2}[ik\varphi(z,\bar{z})^{\dagger},ik\varphi(z,\bar{z})]}$$ $$\tag{I}~\stackrel{(H)}{=}~ e^{ik\phi(z,\bar{z})}e^{\frac{k^2}{2}C(z,\bar{z};z,\bar{z})}~\stackrel{(C)}{=}~ e^{ik\phi(z,\bar{z})}\exp \left(-\frac{\alpha^{\prime}k^2}{2\pi}\ln\frac{a}{2R}\right) ,$$

was wiederum zu der gesuchten Formel (2) von OP führt. In Gl. (I) Wir haben die verkürzte BCH-Formel verwendet , siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag.

Verweise:

1. J. Polchinski, Stringtheorie, Bd. 1; P. 39, Gl. (2.2.7).

Hier

$\begin{equation} \langle ik\phi(x)ik\phi(x)\rangle = \frac{\alpha'k^2}{\pi} \text{ln}(a/2R), \end{equation}$

Wo$a$ist ein UV-Cutoff.

Jetzt können wir schreiben (wie alle$\phi$'s befinden sich in$x$dh Radial bestellt$\{\phi^n(x)\}=\phi^{n}(x)~$)

$\begin{align} \{ik\phi\}^{n}(x) ~&=~ :\{ik\phi\}^n(x): +\sum_{\text{all contractions}} \\ &=~ :\{ik\phi\}^n(x): + ~ ^nC_2 \left(\frac{\alpha'k^2}{\pi} \text{ln}(a/2R)\right) :\{ik\phi\}^{n-2}(x):+\frac{^nC_2~ ^{n-2}C_2}{2} \left(\frac{\alpha'k^2}{\pi} \text{ln}(a/2R)\right)^2:\{ik\phi\}^{n-4}(x): +\cdots \\ &=~ :\{ik\phi\}^n(x):+n(n-1) \left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right) :\{ik\phi\}^{n-2}(x):+ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!} \left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right)^2 :\{ik\phi\}^{n-4}(x):+\cdots \end{align}$

Wir erweitern den Knotenoperator,

$\begin{align} \text{e}^{ik\phi(x)} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(ik\phi)^n(x)}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{:\{ik\phi\}^n(x):}{n!} + \left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right)\sum_{n=2}^\infty \frac{:\{ik\phi\}^{n-2}(x):}{(n-2)!} +\frac{1}{2!}\left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right)^2\sum_{n=4}^\infty \frac{:\{ik\phi\}^{n-4}(x):}{(n-4)!} +\cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{:\{ik\phi\}^n(x):}{n!} \left[1+\left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right) +\frac{1}{2!}\left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right)^2 +\cdots \right] \\ &=~ :\text{e}^{ik\phi(x)}: \text{e}^{\left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right)}. \end{align}$

QED