Kac-Moody-Algebra, Beweis der Parameterberechnung

Ich folge den Notizen "Ginsparg - Applied Conformal Field Theory" ( https://arxiv.org/abs/hep-th/9108028 ) und stecke auf Seite 140 in einem Beweis über Kac-Moody-Algebren fest. Das möchte ich beweisen$\beta = 2\tilde{k} +C_A$unter Verwendung der gegebenen Definition des Spannungs-Energie-Tensors

$$T(z) = \frac{1}{\beta}\lim_{z\to z'} \left\{ \sum\limits_{a=1}^{|G|} J^a(z) J^a(z') - \frac{\tilde{k}|G|}{(z-z')^2} \right\}$$ und die Operator Product Expansion (OPE) von zwei konservierten Strömen $$J^a(z) J^b(w) = \frac{\tilde{k} \delta^{ab}}{(z-w)^2}+\frac{i f^{abc} J^c(w)}{(z-w)}.$$

Ich gehe so vor: ab

$$T(z) J^b(w) = \frac{1}{\beta}\left\{\lim_{z\to z'} \sum\limits_{a=1}^{|G|} J^a(z) J^a(z') J^b(w) - \frac{\tilde{k}|G|}{(z-w)^2}J^b(w) \right\}.$$ Ich möchte zeigen, dass dies gleich dem OPE des Spannungs-Energie-Tensors mit einem Primärfeld ist $$T(z) J^b(w) = \frac{J^a(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial J^b(w)}{(z-w)}$$ dann und nur dann, wenn$\beta = 2\tilde{k} +C_A$, wobei der quadratische Casimir-Eigenwert in der adjungierten Darstellung verwendet wird$f^{abc} f^{acd} = \delta^{bd} C_A$.

Kann mir jemand alle Passagen erklären?