Dirac hat einmal gesagt, dass die Renormalisierung nur ein Stop-Gap-Verfahren ist und dass eine grundlegende Änderung unserer Vorstellungen stattfinden muss. Hat sich etwas geändert?

Es laufen viele Projekte, und ich werde versuchen, sie mit prägnanten Einzeilern zusammenzufassen, die so genau sind wie mein eigenes (zugegebenermaßen begrenztes) Verständnis von ihnen. Die Lösungen umfassen:

1. Klassische Renormierung: Auf die Vorhersagen kommt es an, und die Renormierung ist nur der einzige (zugegebenermaßen komplizierte) Weg, um die Kontinuumsgrenze zu nehmen, die wir haben.
2. Wilsonsche Renormierung: Es ist einfach nicht möglich, eine nicht-triviale Theorie zu konstruieren, die keine effektive Niedrigenergietheorie ist, und die nicht renormierbaren Konstanten sind diejenigen, die effektive Niedrigenergietheorien nicht beeinflussen.
3. Stringtheorie: Diese ganze 4-D-Raumzeit ist eine Illusion, die aus der Interaktion interagierender 2-D-Raumzeiten (Strings) aufgebaut ist. Da alle Wechselwirkungen in 2-D renormierbar sind, verschwinden die Probleme (obwohl es viele verdichtete raumähnliche Dimensionen gibt, die wir noch sehen müssen).
4. Schleifen-Quantengravitation: Das Problem ergibt sich aus der Annahme der Kontinuumsgrenze in der Raumzeit, also werfen wir die Idee eines Kontinuums insgesamt weg.

Ich finde keinen dieser Ansätze besonders befriedigend. Ich selbst neige dazu, den „Mehr-Derivate“-Ansatz zu bevorzugen, weil er die wenigsten technischen Änderungen mit sich bringt, aber einen enormen philosophischen Wandel erfordert. Die Ursache dieser philosophischen Änderung ergibt sich aus der Forderung, dass die Theorie Lorentz-invariant sein muss; Es wäre im Prinzip möglich, Theorien nicht nur renormierbar, sondern UV-endlich zu machen, indem man einige weitere räumliche Ableitungen hinzufügt. Wegen der Lorentz-Invarianz bringt das Hinzufügen von mehr Raumableitungen jedoch zwangsläufig das Hinzufügen von mehr Zeitableitungen mit sich. Ostrogradsky hat allein in der klassischen Physik gezeigt, dass mehr als zwei Ableitungen zwangsläufig dazu führen, dass der Hamiltonoperator keine untere Schranke mehr hat (ein guter technischer Überblick wird in Woodard (2007) und gegebenWaldard (2015) ).

Es wird im Allgemeinen als so wichtig angesehen, dass der Hamilton-Operator als das dient, was die Theorie auf ein endliches Volumen des Phasenraums beschränkt, dass er die Hälfte eines der Axiome ist, die in die QFT eingehen ; in Summe:

1. es gibt einen Operator, der dem Hamilton-Operator entspricht, der als Generator von Zeittranslationen dient (und der aufgrund der Zeitinvarianz der physikalischen Gesetze erhaltenen Noether-Ladung), und
2. die Eigenwerte des Generators von Zeitübersetzungen sind positiv semidefinit (oder haben eine untere Grenze).

Der Inhalt der Källen- Lehmann - Darstellung ( Wikipedia-Link , auch in Abschnitt 10.7 von Weinbergs „The Quantum Theory of Fields“, Bd. I ) ist, dass das obige Postulat, kombiniert mit der Lorentz-Invarianz, notwendigerweise nicht mehr als zwei Ableitungen impliziert die Umkehrung des Propagators.

Die Kombination von Ostrogradsky und Källen-Lehmann scheint unüberwindbar, aber nur, wenn Sie darauf bestehen, dass „Hamiltonisch = Energie“ (hier verwende ich „Hamiltonisch“ als Abkürzung für den Generator von Zeitübersetzungen und „Energie“ als Abkürzung für "diese konservierte Ladung, die eine untere Grenze hat und die Felder im Phasenraum einschließt"). Ich vermute, dass die Schwierigkeiten bei höheren Ableitungstheorien verschwinden, wenn Sie bereit sind, diese beiden Aufgaben aufzuteilen. Die neue Version des Energie/Zeit-Übersetzungspostulats würde in etwa so aussehen:

1. die Generatoren von Raum-Zeit-Translationen bleiben erhalten (Hamiltonsch, 4-Impuls),
2. es gibt einen konservierten 4-Vektor-Operator, der Werte im Vorwärtslichtkegel annimmt, und
3. Die Operatoren in 1 und 2 fallen für niedrige Frequenzen zusammen (Korrespondenz der klassischen Physik).

Ein Schlüsselpapier in dieser Richtung ist Kaparulin, Lyakhovich und Sharapov (2014) „Classical and Quantum Stability of Higher-Derivative Dynamics“ (und die Papiere, die es zitieren, insbesondere von denselben Autoren), das zeigt, dass die Instabilität nur zu einem wird Problem für den Pais-Uhlenbeck-Oszillator, wenn Sie den höher abgeleiteten Sektor auf bestimmte Weise mit anderen Sektoren koppeln, und er ist stabil, wenn Sie die Kopplungen auf andere Weise beschränken.

Alles in allem wären mehr Derivate kein Allheilmittel. Wenn Sie beispielsweise versuchen, die Divergenzen in einer Eichtheorie zu beseitigen, indem Sie mehr Ableitungen hinzufügen, werden Sie immer Interaktionsterme mit mehr Ableitungen hinzufügen, um die Theorie so divergent zu halten, wie sie am Anfang war. Beachten Sie, dass "mehr Ableitungen" mathematisch der Pauli-Villars-Regularisierung (PV) durch Partialbruchzerlegung der Fourier-Transformation des Propagators entspricht. Es ist bekannt, dass PV gerade wegen dieses Problems nicht gut mit der Eichtheorie spielt, obwohl es normalerweise als Verstoß gegen die Eichinvarianz bezeichnet wird, da die Kopplungen höherer Ordnung mit mehr Ableitungen, die erforderlich sind, um die Eichinvarianz aufrechtzuerhalten, weggelassen werden.

Wie Heterotic in den Kommentaren sagte, ist die "fundamentale" Änderung, unabhängig davon, wie grundlegend Sie sie wirklich halten, höchstwahrscheinlich die Änderung von der alten Ansicht der Renormierung als willkürliche Auswahl von Konstanten, um unangenehme divergierende Größen zu verbergen, zum modernen Wilsonschen Begriff der Renormalisierungs-(Halb-)Gruppe, bei der die Renormalisierungsskala von Natur aus einen Grenzwert darstellt , bis zu dem die betrachtete QFT als effektive Feldtheorie gültig ist - siehe auch diese Antwort von mir für ein Beispiel dafür, wie sich die beiden Ansichten bei der Betrachtung der Renormalisierungsskala unterscheiden .

Die grundlegende Änderung könnte daher leichtfertig formuliert werden als die Änderung von der Betrachtung von QFTs als grundlegende Theorie von allem zu ihrer Verwendung als effektive Feldtheorien mit einer inhärenten Gültigkeitsbeschränkung, die durch den Wilsonschen Grenzwert gegeben ist.

Warum hat sich Ihrer Meinung nach etwas geändert ? Obwohl ich dem Standpunkt von ACuriousMind vollkommen zustimme, dass die Betrachtung von QFT als effektive Theorie den Druck über die Natur der Renormalisierung etwas verringert, glaube ich nicht, dass Dirac das vorhatte.

Wie in den Kommentaren erwähnt, war Dirac im Herzen ein Geometer – oder zumindest einer, der die mathematische Struktur des Universums schätzte. In diesem Zusammenhang glaube ich nicht, dass er den Wechsel zur effektiven Feldtheorie als sehr attraktiv angesehen hätte. Ich glaube, er meinte mit „fundamental“ eine grundlegende Veränderung in unserem Verständnis der mathematischen Struktur unseres Universums.

Meiner Ansicht nach hätte er Versuche, diese Struktur (über Zeichenfolgen, Schleifen, Nichtkommutierung usw.) zu modifizieren, als die grundlegende Änderung angesehen, die erforderlich ist. Aus dieser Perspektive gab es also nicht die Veränderung, die Dirac anstrebte. Daran arbeiten wir noch.

Auf die Frage, ob es zu solch einem grundlegenden Wandel gekommen ist, würde ich ja und nein sagen. Ja, weil Wilsons Sichtweise ein viel klareres Bild der Renormalisierung geliefert hat, die übrigens nicht darin besteht, "Divergenzen unter den Teppich zu kehren". Diracs Aussage über sein Verständnis von Renormalisierung (bzw. deren Fehlen) ist 2017 ziemlich überholt. Allerdings habe ich auch nein gesagt, weil die Entwicklung von Wilsons RG meiner Meinung nach noch in Arbeit ist. Ich weiß, dass dies inzwischen Lehrbuchmaterial für QFT-Kurse ist, aber ich denke, dass Wilsons RG in der allgemeineren Situation, in der Kopplungen (und Abschneidungen!) raumabhängig sind, noch nicht verstanden wird. Mein Gefühl ist, dass man letztendlich nur den Sieg verkünden und sagen kann "Ja, wir verstehen jetzt Wilsons RG".

Bearbeiten: Für diejenigen, die immer noch denken, dass die Renormalisierung ein "Stop-Gap-Verfahren" oder eine Art willkürliches Kochbuchrezept ist, siehe meine Antwort auf die Wilsonsche Definition der Renormalisierbarkeit . Es sollte (hoffentlich) deutlich machen, dass die Renormierung von Kontinuums-QFTs im Rahmen von Wilsons Rahmen tatsächlich gut gestellt und, ich wage zu sagen, schön istmathematische Frage. Einige, wie vielleicht Dirac, könnten die Idee hegen, dass die BPHZ- oder Wilson-Polchinski-Renormalisierung ein Patch ist, der auf eine bessere, eher konzeptionelle oder geometrische Erklärung wartet. Meine Antwort ist überhaupt nicht orthogonal zu dieser Überzeugung. Darauf habe ich versucht hinzuweisen, als ich die Verbindung zum holografischen RG erwähnte, das eine Art Geometrisierung des RG durch die Einführung einer zusätzlichen Koordinatenrichtung ist$z$Maßstab entsprechen. Experten von AdS/CFT können mich korrigieren, wenn ich falsch liege, aber ich verstehe, dass die Verbindung zum RG vermutlich eine wichtige Rolle in dieser Korrespondenz spielt, aber die genaue quantitative Verbindung zwischen dem Wilsonschen RG und dem holographischen RG bleibt schwer fassbar.

Ich denke, dass Dirac mit der mathematischen Bedeutungslosigkeit der Art und Weise, wie die Renormierung durchgeführt wurde, unzufrieden war.

Dies hat sich mit der kausalen Störungstheorie geändert . Letzteres ist ein kovarianter und mathematisch einwandfreier Weg, um mit der störenden UV-Renormierung umzugehen, ohne irgendwo während der Entwicklung einen Grenzwert (und die damit verbundene zweifelhafte Grenze), eine geometrisch bedeutungslose nicht ganzzahlige Dimension oder eine mathematisch undefinierte (unendliche) Größe einzuführen. Es gibt auch keine unphysikalischen nackten Größen - die Parameter$e$und$m$die im kausalen Ansatz zur QED auftreten, haben durchweg ihre physikalische Bedeutung der Elektronenladung (bei Nullenergie) und der Elektronenmasse.

Das Problem mit einer Energieabschaltung$\Lambda$ist, dass es die Kovarianz und die kausale Struktur zerstört, die nur im Grenzwert erscheinen. Darüber hinaus führt es (außer in asymptotisch freien Theorien) zu Artefakten wie Landau-Polen, die das Nehmen der Grenze verbieten$\Lambda\to\infty$. Ein kovarianter Ansatz, der die Kausalität von Anfang an berücksichtigt, vermeidet letzteres und ist konzeptionell überlegen. Es erklärt auch, warum der Standardansatz zu den herkömmlichen Problemen mit den Unendlichkeiten führt – nämlich weil Verteilungen nur unter sorgfältig kontrollierten Bedingungen multipliziert werden können.

(Der kausale Ansatz ist perturbativ, unterstützt aber eine Renormalisierungsgruppe , die ihm die gleichen nicht-perturbativen Informationen hinzufügt wie jede RG-erweiterte Störungstheorie, einschließlich einer Schätzung für einen möglichen Landau-Pol. Der Landau-Pol ist nur bei einem Ansatz konstruktiv gefährlich, bei dem eine Abschaltung erforderlich ist den Landau-Pol passieren. Obwohl also ein Landau-Pol in der Bogoliubov-Stueckelberg-Renormierungsstruktur vorhanden sein könnte, hat dies im kausalen Ansatz überhaupt keine Konsequenzen, da man die Störungskonstruktion bei jeder festen Energie unterhalb der Renormierungsskala ( in QED, sogar bei$E=0$) und hat eine gültige Störungstheorie. Nur die physikalische Kopplung muss gering sein.)

Ich glaube nicht, dass Dirac einen Paradigmenwechsel gefordert hätte, wenn er den kausalen Ansatz gekannt hätte und dass er universell für alle relativistischen QFTs einschließlich des Standardmodells gilt. Ich glaube, Dirac wäre mit dieser Lösung seiner Bedenken zufrieden gewesen. In jedem Fall beseitigt es seine Beschwerde vollständig

Wenn sich herausstellt, dass eine Zahl unendlich ist, die endlich sein sollte, sollten Sie zugeben, dass etwas mit Ihren Gleichungen nicht stimmt, und nicht hoffen, dass Sie eine gute Theorie bekommen, indem Sie einfach diese Zahl verfälschen.

Dasselbe gilt für die Beschwerde von Feynman (zitiert in http://www.cgoakley.org/qft/ )

Das Hütchenspiel, das wir spielen ... wird technisch als "Renormalisierung" bezeichnet. Aber egal wie schlau das Wort ist, es ist immer noch das, was ich einen Dippy-Prozess nennen würde! Auf solchen Hokuspokus zurückgreifen zu müssen, hat uns daran gehindert zu beweisen, dass die Theorie der Quantenelektrodynamik mathematisch in sich widerspruchsfrei ist. Es ist überraschend, dass sich die Theorie bis jetzt immer noch nicht auf die eine oder andere Weise als selbstkonsistent erwiesen hat; Ich vermute, dass die Renormierung mathematisch nicht legitim ist.

Mit der kausalen Störungstheorie ist die störungsbedingte Renormierung mathematisch völlig legitim geworden und gut verstanden.

Er ist nicht der Einzige. Feynman nannte die Renormalisierung auch „Hokuspokus“.

Es stellt sich heraus, dass die Renormierung eine schöne mathematische Struktur hat, die von der kosmischen Galois-Gruppe beschrieben wird :

Die sogenannte kosmische Galois-Gruppe ist eine motivische Galois-Gruppe, die in der Quantenfeldtheorie natürlicherweise auf Strukturen in der Renormierung einwirkt. Die eigentliche Renormierungsgruppe ist eine 1-Parameter-Untergruppe der kosmischen Galois-Gruppe.

Es ist ermutigend zu sehen, dass eine Renormierungsgruppe tatsächlich eine Gruppe im mathematischen Sinne ist.

Es wird auch angenommen, dass eine Renormalisierung erforderlich ist, um Unendlichkeiten zu vermeiden, die sich aus der Punktteilchenidealisierung in der QFT ergeben; und es stellt sich heraus, dass die Renormierung selbst innerhalb der Störungs-String-Theorie entfällt, wo Punktteilchen durch Strings ersetzt werden.

Ich bin mir sicher, dass der Durchbruch aus der Mathematik kommen sollte. Insbesondere werden wir in der Lage sein, die Werte divergierender Integrale und Reihen zu manipulieren, genauso wie wir reelle und komplexe Zahlen manipulieren. Diese erweiterten Zahlen wären in der QFT und der Vakuumphysik ebenso wichtig wie komplexe Zahlen in der Quantenmechanik.