Beweis, dass die Wilsonsche Renormierung nur Terme erzeugt, die mit der Symmetrie der Wirkung übereinstimmen

Ich denke, es ist ziemlich einfach, mit funktionalen Integralen zu beweisen. Bei der Wilson-Renormierung teilt man das Feld beispielsweise in Modi mit niedriger Energie und solche mit hoher Energie auf$\phi = \varphi + \Phi$, Wo$\varphi$hat nur Unterstützung bei kleinen Impulsen und$\Phi$auf großen. Die Aktion wird$S[\varphi,\Phi] = S_1[\varphi] + S_2[\Phi] + S_\text{int}[\varphi,\Phi]$.

Stellen Sie sich nun vor, dass die vollständige Theorie (hohe Energie) eine Symmetrie nach unten hat$\varphi \to \tilde\varphi[\varphi]$Und$\Phi \to \tilde\Phi[\Phi]$. Dies bedeutet, dass die Aktion invariant ist:$S[\tilde\varphi,\tilde\Phi]=S[\varphi,\Phi]$. Beachten Sie auch, dass ich die Tatsache verwendet habe, dass interne Symmetrien keine Modi mit niedriger Energie mit Modi mit hoher Energie mischen. EDIT: Um dies zu verstehen, kann man zum Beispiel im Impulsraum arbeiten. Die Modi mit niedriger und hoher Energie sind so definiert, dass

$$\varphi(k) = \begin{cases} \phi(k) \quad \text{ for } k \leq \Lambda \\ 0 \quad \quad \,\text{ otherwise}\end{cases}\,, \qquad \Phi(k) = \begin{cases} 0 \quad\quad\,\, \text{ for } k \leq \Lambda \\ \phi(k) \quad \,\text{ otherwise}\end{cases}\,.$$ Da innere Symmetrien nicht auf die Impulse wirken, sondern nur auf die Indizes der Felder, ist die Transformierte von beispielsweise$\varphi(k)$wird immer noch nur Unterstützung auf haben$k\leq \Lambda$, dh es wird immer noch ein Niedrigenergiemodus sein. ENDE DER BEARBEITUNG

Nun wird die effektive Aktion, die durch Integration über Hochenergiemoden erhalten wird, definiert als

$$e^{iS_\text{eff}[\varphi]} = e^{iS_1[\varphi]}\int \mathcal{D}\Phi \, \exp \left( iS_2[\Phi]+iS_\text{int}[\varphi,\Phi] \right)\,.$$

Führen Sie nun eine Symmetrietransformation durch$\varphi$,

$$\begin{align} e^{i S_\text{eff}[\tilde\varphi]} &= e^{iS_1[\tilde \varphi]} \int \mathcal{D}\Phi \exp\left( iS_2[\Phi] + i S_\text{int}[\tilde\varphi,\Phi]\right) \\ &= e^{iS_1[\tilde \varphi]} \int \mathcal{D}\tilde\Phi \exp\left( iS_2[\tilde\Phi] + i S_\text{int}[\tilde\varphi,\tilde\Phi]\right) \\ &= e^{iS_1[\varphi]} \int \mathcal{D}\Phi \exp\left( iS_2[\Phi] + i S_\text{int}[\varphi,\Phi]\right)= e^{iS_\text{eff}[\varphi]}\,, \end{align}$$

wobei ich in der zweiten Gleichheit gerade eine Änderung der Integrationsvariablen durchgeführt habe$\Phi\to\tilde\Phi$, und im dritten habe ich die Tatsache verwendet, dass die Aktion invariant und die Symmetrie nicht anomal ist (dh$\mathcal{D}\Phi = \mathcal{D}\tilde\Phi$).

Wenn daher die ursprüngliche Theorie invariant ist, ist die effektive Niedrigenergietheorie ebenfalls invariant, dh es können keine symmetriebrechenden Terme in der Renormierungsprozedur erzeugt werden.

Ich hoffe, das beantwortet Ihre Frage!

1. Die effektive Aktion nach Wilson
   

   $$\begin{align} \exp&\left\{ -\frac{1}{\hbar}W_c[J^H,\phi_L] \right\}\cr ~:=~~~&\int \! {\cal D}\frac{\phi_H}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-S[\phi_L+\phi_H]+J^H_k \phi_H^k\right)\right\} \end{align}\tag{A}$$ wird durch die Integration von Heavy/High-Modi definiert$\phi^k_H$und Verlassen der Licht-/Niedrig-Modi$\phi^k_L$. Hier$J^H_k$bezeichnet Quellen für die schweren Moden. Die (möglicherweise nicht-lokale) effektive Aktion nach Wilson$W_c[J^H,\phi_L]$ist das erzeugende Funktional von verbunden$\phi_H$Feynman-Diagramme im Hintergrund$J^H,\phi_L$.

2. Nehmen Sie die Aktion an

   $$S[\widetilde{\phi}]~=~S[\phi]\tag{B}$$ ist invariant unter einer invertierbaren affinen Transformation$^1$ $$\widetilde{\phi} ~=~A\phi+b. \tag{C}$$

3. Es ist natürlich, die inhomogene Übersetzung zu assoziieren$b$in Gl. (C) mit den Lichtmodi. Dies führt zu den partiellen Transformationsgesetzen

   $$\begin{align} \widetilde{\phi}_L ~=~&A\phi_L+b, \cr \widetilde{\phi}_H ~=~&A\phi_H, \cr \widetilde{J}^H ~=~&J^HA^{-1}. \cr \end{align}\tag{D}$$

4. Angenommen, das Pfadintegralmaß

   $${\cal D}\widetilde{\phi}_H~=~{\cal D}\phi_H\tag{E}$$ ist auch unveränderlich.

5. Dann die effektive Aktion von Wilson

   $$\begin{align} \exp&\left\{ -\frac{1}{\hbar}W_c[\widetilde{J}^H,\widetilde{\phi}_L] \right\}\cr ~\stackrel{(A)}{=}~~~&\int \! {\cal D}\frac{\widetilde{\phi}_H}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-S[\widetilde{\phi}_L+\widetilde{\phi}_H]+\widetilde{J}^H_k \widetilde{\phi}_H^k\right)\right\} \cr ~\stackrel{\text{linearity}}{=}~&\int \! {\cal D}\frac{\widetilde{\phi}_H}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-S[\widetilde{\phi_L+\phi_H}]+\widetilde{J}^H_k \widetilde{\phi}_H^k\right)\right\}\cr ~\stackrel{(B)+(E)}{=}~&\int \! {\cal D}\frac{\phi_H}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-S[\phi_L+\phi_H]+J^H_k \phi_H^k\right)\right\}\cr ~\stackrel{(A)}{=}~~~&\exp\left\{ -\frac{1}{\hbar}W_c[J^H,\phi_L] \right\} \end{align}\tag{F}$$ ist ebenfalls unveränderlich.

Verweise:

1. S. Weinberg, Quantentheorie der Felder, Bd. 2, 1996; Abschnitt 16.4 p. 77 + Abschnitt 17.2 p. 84.

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$^1$Die mögliche Erweiterung von Gl. (F) zu nicht-affinen Symmetrien beruht auf einer effektiven Trennung von leichten und schweren Moden, vgl. Einjs Antwort. Siehe auch eine verwandte Diskussion in Ref. 1, wo gezeigt wird, dass die wirksame/richtige Handlung $\Gamma[\phi_{\rm cl}]$erbt affine Symmetrien der Aktion$S[\phi]$und das Wegintegralmaß${\cal D}\phi$.