Warum haben wir keine Logarithmen oder Exponentiale der Felder in den Lagrange-Operatoren?

Es gibt einen Grund, der andere Funktionen als Polynome niedrigen Grades verbietet, aber manchmal interessiert uns dieser Grund nicht, und dann haben wir komplizierte Funktionen der Körper in der Lagrange-Funktion. Lassen Sie mich zuerst den Grund nennen, dann erklären, wann wir ihn missachten, und dann ein Beispiel.

Lassen Sie uns Einheiten verwenden, bei denen die Aktion dimensionslos ist, dh$\hbar = 1$, und auch$c = 1$. Dann ist die Aktion

$$S = \int d^4 x \, \mathcal L.$$ und $d^4x$hat die Einheiten von $\text{mass}^{-4}$; seine Massendimension ist $-4$. Daher der Lagrange $\mathcal L$muss Einheiten von haben $\text{mass}^4$, dh Massendimension $4$. In diesen Einheiten ist der elektromagnetische Feldtensor $F_{\mu\nu}$Massendimension hat $2$und ein Dirac-Feld $\psi$Massendimension $\frac 3 2$.

Nun stellt sich heraus, dass in einer renormierbaren Theorie alle Kopplungskonstanten eine Massendimension haben müssen$d \ge 0$-- der Beweis ist bei Weinberg, Kap. 12. Daher ein Begriff wie$\frac{1}{M} \bar \psi \gamma^\mu\gamma^\nu F_{\mu\nu} \psi$oder$\frac{1}{M^4}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})^2$kann nicht in einem renormierbaren Lagrange vorkommen. A forteriori schließt dies Funktionen wie aus$\exp(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})$. [Dies ist auch der Grund, warum Allgemeine Relativitätstheorie und QFT sich nicht vermischen: Die Krümmung hat die Dimension von$\text{length}^{-2} = \text{mass}^2$, Also$G$Massendimension hat$-2$.]

Wenn wir jedoch die Anforderung der Renormierbarkeit fallen lassen, gibt es in einer effektiven Feldtheorie keine Begrenzung dessen, was wir in unsere Lagrange-Funktion eintragen können. Eigentlich ein Begriff wie$\frac{1}{M} \bar \psi \gamma^\mu\gamma^\nu F_{\mu\nu} \psi$taucht in der effektiven Theorie der Elektronen in externen Feldern auf – es ist das berühmte anomale magnetische Moment. Während dies noch ein Polynom ist, haben Heisenberg und Euler bereits in den 30er Jahren den effektiven Lagrangian für QED in einem starken Hintergrundfeld berechnet. es ist

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\mathcal {F}}-{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-m^{2}s\right)\left[(es)^{2}{\frac {\operatorname {Re} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}{\operatorname {Im} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}}{\mathcal {G}}-{\frac {2}{3}}(es)^{2}{\mathcal {F}}-1\right]{\frac {ds}{s^{3}}}}$$ wo $\mathcal F = \frac{1}{4}F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$und $\mathcal G = \frac{1}{4}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} F^{\mu\nu}F^{\rho\sigma}$. Ziemlich komplizierte Funktion der Felder!

Der Heisenberg-Euler-Lagrangian ist seitdem Gegenstand vieler Studien gewesen , und ich bin sicher, dass andere andere Beispiele für effektive Feldtheorien mit nicht-polynomialen Aktionen geben können.