Eine einfache Erklärung von Renormalisierungsgruppen - von QED bis zu klassischen Feldtheorien

Ich bin auch kein Experte in diesem Thema, aber ich versuche mich damit zu beschäftigen.
Im Moment versuche ich, eine angemessene Hierarchie von Konzepten im Zusammenhang mit Renormalisierung zu erstellen. Lassen Sie mich sie auflisten und sagen, wie sie verwandt sind:

1. Felder, Lagrange (Hamilton) und Kopplungskonstanten.
2. Störrechnungen.
3. Verschiedene Skalen.
4. Selbstähnlichkeit.
5. Quantenfelder .
6. Ultraviolette Divergenzen.
7. Renormalisierung.
8. Renormierungsgruppe und laufende Kopplungen.
   (Lassen Sie mich betonen, dass die „Renormalisierung“ und die „Renormalisierungsgruppe“ unterschiedliche Konzepte sind.)

Natürlich ist das Konzept eines Feldes und die Art, es zu beschreiben (1), ein Ausgangspunkt.

Nun, es scheint mir (obwohl ich mich irren kann), dass wir uns jedes Mal, wenn wir über Renormalisierung sprechen, immer mit einem störenden Ansatz befassen (2). Es gibt immer etwas, das wir vernachlässigen wollen. Und wenn es eine Möglichkeit gibt, Berechnungen ohne Annäherungen durchzuführen, muss man keine Techniken im Zusammenhang mit der Renormalisierung verwenden.

Eines der einfachsten Beispiele ist die Hydrodynamik – Sie wollen nicht auf die Ebene der Moleküle "herunterkommen", um einen Wasserstrom zu beschreiben. Sie möchten mit einigen "ganzzahligen" Größen wie der Viskosität arbeiten. Und die Viskosität kann verwendet werden, um Prozesse auf vielen verschiedenen Skalen zu beschreiben (3): Blutkreislauf, Schmetterling, U-Boot, Innereien des Sterns usw

Die Hydrodynamik arbeitet aufgrund der Selbstähnlichkeit (4) auf verschiedenen Skalen: Wenn Sie mehrere Größenordnungen größer gehen, können Sie Ihr System immer noch mit derselben Lagrange-Funktion beschreiben, aber möglicherweise mit einigen geänderten Parametern. Beim Übergang von einer Skala zur anderen vernachlässigt man immer einige Besonderheiten (2), die bei kleineren Skalen auftreten.

Dies ist die Essenz der Techniken der Renormierungsgruppe (8). Die sich ändernden Parameter werden auch als Laufkupplungen bezeichnet. Ich empfehle Ihnen, über die Kadanoff-Transformation zu lesen, um mehr darüber zu erfahren.

Beachten Sie, dass ich bei weitem nie Abweichungen erwähnt habe. Denn das ist ein etwas anderes Thema. Und man kann die Renormierungsgruppe auch dann verwenden, wenn es keine Unendlichkeiten gibt.

UV-Divergenzen treten aufgrund unserer Unkenntnis über kleinere Skalen auf. Wenn wir über Hydrodynamik sprechen, wissen wir, dass es eine „fundamentale Skala“ gibt – die oben erwähnten Moleküle. Aber wenn wir über Quantenfelder (6) sprechen (wie ein elektromagnetisches Feld oder ein Fermionenfeld), wissen wir nicht, was die "fundamentale" Skala dafür ist. Wir wissen nicht einmal, ob es sie überhaupt gibt.

Verschiedene Verfahren zum Umgang mit den Divergenzen werden Renormalisierungsverfahren (7) genannt. Sie basieren auch auf Änderungen der Parameter von Larangian, aber jetzt sind diese Änderungen "unendlich", weil man "die Unendlichkeiten kompensieren" muss, die von kleinen Skalen erscheinen. Nach Aufhebung der Unendlichkeiten auf diese Weise bleibt immer noch die Willkür, endliche Werte der Parameter zu wählen. Sie können die Parameter korrigieren, indem Sie sie aus dem Experiment auf einer bestimmten Skala (3) abrufen und die Renormalisierungsgruppe (8) verwenden, um von einer Skala zur anderen zu wechseln.

Erstens wird der vollständige Begriff der Renormierungsgruppe, wie er in der QFT untersucht wurde, in der klassischen Theorie definitiv nicht benötigt. Dies liegt daran, dass QFT ohne ein Renormierungsschema eigentlich keinen Sinn macht und man für jede Theorie immer den Fluss der Kopplungen zu einigen Fixpunkten (entsprechend konformen Feldtheorien) untersuchen muss, um zu prüfen, ob die gegebene Theorie überhaupt renormierbar ist . Renormierung ist also ein fester Bestandteil der QFT im großen Gegensatz zu klassischen Theorien.

Ein anderer Ort, an dem der Begriff des Renormierungsgruppenflusses wichtig ist, ist die Theorie der kondensierten Materie. Dies liegt daran, dass diese Strömungen Fixpunkte haben, die (wenn sie nicht trivial sind) kritischen Punkten entsprechen (dies hängt wiederum mit der erwähnten winkeltreuen Symmetrie zusammen). Die Renormierungsgruppe wird dann verwendet, um zu sehen, wie sich die Strömung um diesen Punkt herum verhält, und dies gibt wertvolle Informationen über das Verhalten makroskopischer Größen (wie der spezifischen Wärme) am kritischen Punkt.

Aber der Begriff an sich ist nicht besonders wichtig, wenn es Ihnen nur darum geht, UV-Freiheitsgrade zu integrieren. Ich glaube nicht, dass man in der klassischen Theorie einen Flow braucht. Alles, was Sie tun müssen, ist eine energetische Wechselwirkung mit einem Umgebungsfeld zu integrieren, um eine effektive Masse zu erhalten (für ein konkretes Beispiel). Während die Renormalisierungsgruppe einen nützlichen Rahmen für das allgemeine Verständnis der Skalen von Theorien und ihrer Wirksamkeit bietet, wird sie die meiste Zeit nicht wirklich benötigt.

Marek schrieb: "Erstens wird der vollständige Begriff der Renormierungsgruppe, wie er in der QFT untersucht wird, in der klassischen Theorie definitiv nicht benötigt ..."

Marek, die Renormalisierung der Masse erschien zuerst im klassischen Elektromagnetismus, nicht wahr? Nehmen Sie die "Definition":$m_{physical} = m_{bare} + \delta m$. Dies ist eine Einschränkung für zwei Zusätze, sodass es sogar in der CED eine einparametrische „Invarianz“-Gruppe gibt. Sobald die Massenrenormalisierung (discarding$\delta m$zu ursprünglich körperlich$m$) genau gemacht wird, nur einmal, es ist, gelinde gesagt, nicht wirklich interessant. In der QED wird diese "Freiheit" auf die Ladung ausgedehnt und erfolgt perturbativ, aber der Hauptsinn bleibt - die Renorm-Gruppe ist eine "Freiheit" bei der Auswahl der beiden Begriffe, um eine Einschränkung zu erfüllen:$e_{physical} = e_{bare}(\Lambda) + \delta e(\Lambda)$wo$(\Lambda)$ist ein Ausschnitt.

Wenn wir zum ursprünglichen Sinn von Renormierungen zurückkehren, um unnötige störende Korrekturen an ursprünglich richtigen, physikalischen, fundamentalen konstanten Werten zu verwerfen, erscheint keine Gruppe, es werden keine dummen Beziehungen zwischen "nackten" und "physikalischen" Konstanten abgeleitet (kein Landau-Pol), und alles ist einfach: man verwirft unendliche oder endliche Eigenleistungsbeiträge. Selbsthandeln ist ein Fehlkonzept: Es führt zu keiner Veränderung (no action by definition), nur zu falschen Begriffen, die am Ende verworfen werden.