Wie kann Perturbativität die Renormierung überleben?

Das hat mich auch kurz beim Erlernen der Renormierung gestört. Davon gehst du erstmal aus$\delta\lambda$ist durchgehend klein, was bedeutet, dass Sie zuerst einen Cutoff machen und nehmen$\lambda$klein genug damit$\lambda\log(\Lambda)$ist nicht groß. Dies ist nicht besonders schwierig – Protokolle sind niemals groß, es sei denn, der Cutoff ist astronomisch.

Dann schreiben Sie die Reihe in Bezug auf die physikalischen Kopplungen um und stellen fest, dass die resultierende Reihe unabhängig von den bloßen Kopplungen und Massen ist, und dann stellen Sie die berechtigte Hypothese auf, dass diese Erweiterung nur unter der Annahme gültig ist, dass die physikalische Kopplung klein ist , auch wenn Sie den Cutoff so groß machen, dass die bloße Kopplung groß ist.

Begründet wird dies mit der ortsüblichen Ausführung der Kopplung. Nehmen Sie für die Bestimmtheit an, dass Sie ein Ising-Modell in einem bestimmten Maßstab erstellen (das die unendliche Kopplungsgrenze der Euklidischen ist$\phi^4$Theorie in der nahezu kritischen symmetriegebrochenen Phase), wenn Sie zum kritischen Punkt des Ising-Modells gehen, befinden Sie sich an der Grenze, dass die langwellige Theorie durch die Störungstheorie beschrieben wird.

Wenn Sie mit dem Ising-Modell beginnen und ein paar Iterationen einer Realraum-Renormalisierungsgruppenblockdrehung durchführen, ein paar Migdal-Kadanoff-ähnliche Realraum-Renormalisierungsschritte unter Verwendung von Durchschnittsfeldern, erhalten Sie eine physikalische Kopplung für das Durchschnittsfeld, die nein ist länger unendlich - das durchschnittliche Feld bleibt nicht bei -1 oder 1 hängen, sondern wird in Blobs um diese Werte herum gemittelt. Wenn Sie zu größeren Maßstäben gehen, wird die effektive durchschnittliche Feldkopplung schließlich immer kleiner, wenn Ihr Impuls-Cutoff kleiner wird. Da die Langstreckentheorie universell ist, d. h. Sie müssen nur einen Parameter anpassen, und alles andere wird dann von der Kontinuumstheorie bestimmt, müssen Sie für Fernkorrelationen die gleiche Antwort erhalten, unabhängig davon, ob die mikroskopische Theorie abgeschnitten ist Ising-Skala (Landau-Pol-Skala), bei der die Kopplung unendlich ist, oder in einem viel größeren Maßstab, wo die Kopplung über den gesamten Bereich klein bleibt. Da die Physik vom Cutoff unabhängig ist, sollte die Störungstheorie für den Bereich, in dem der Cutoff eine überall kleine Kopplung erzeugt, zuverlässig sein.

Man sollte sich vorstellen, dass der Cutoff auf einer physikalischen Skala liegt, bei einer realen Länge, nicht Null, und dass die bloße Kopplung höchstens um einen Faktor 2 von der physikalischen Kopplung abweicht. Dies ist normalerweise bei physikalischen Log-Running-Theorien wie dem Higgs-Sektor im Standardmodell der Fall.

Das obige Argument erfordert, dass log-running beibehalten wird$\delta\lambda$klein überall im Bereich von Nullimpuls bis zum Cutoff, und das funktioniert nicht naiv in 3 Dimensionen oder 2 Dimensionen, wo Sie ein starkes Potenzgesetz haben, weil die Kopplung dimensional ist. In diesen niedrigeren Dimensionen ist der Renormierungsprozess nicht so kompatibel mit der Störung, weil die Einkopplung$\phi^4$Theorie geht als Macht, sie ist dimensional. In diesem Fall haben Sie drei Werkzeuge: Resummierung, Realraum-Renormalisierung und$\epsilon$Erweiterung.

In dem$\epsilon$Expansion machen Sie einen Ansatz, dass die Kopplung als Potenz der Skala geht und dass der Koeffizient einen Fixpunkt hat, der durch die Struktur der 4-dimensionalen Log-Running-Theorie bestimmt ist. Dies funktioniert, um kritische Exponenten mit einer bestimmten Genauigkeit vorherzusagen, aber bei der Epsilon-Erweiterung ist die Störungstheorie nicht so nützlich wie ein Berechnungswerkzeug für Korrelationsfunktionen, da die Kopplung vom Potenzgesetz abhängig ist. Aber sobald Sie die kritischen Exponenten haben, können Sie versuchen, die konforme Feldtheorie des kritischen Punkts in 3D zu konstruieren, indem Sie Kadanoff-Polyakov-Operatortricks anwenden. Dies ist eine Branche, und in 2D wird sie im Wesentlichen verstanden, wobei viele konforme Punkte mit fortschrittlichen mathematischen Werkzeugen aufgelöst und untersucht werden.

Die Resumierungsmethoden sind schwieriger – diese beinhalten eine Borel-Analyse, und dies gibt nur sehr wenig Einblick pro investierte Stunde. Aber dies war bis in die 1970er Jahre das einzige Werkzeug, daher widmet sich die gesamte alte Literatur diesem die meiste Zeit.

Die Realraummethoden ermöglichen es Ihnen, das ganze Problem zu umgehen, indem Sie die Renormierung auf Gittertheorien Lagrange direkt definieren, ohne eine k-Raum-Erweiterung. Sie ersetzen die Feldvariablen durch Blockvariablen, verschieben die Kopplungen für die Blockvariablen und suchen einen Fixpunkt. Diese Idee ist Kadanoff zu verdanken, aber das Ergebnis wird oft Wilsonianisch genannt, weil das Nobelkomitee wie immer monumental dumm war.

Aber wenn Sie in 4d sind, tun Sie einfach, was die Leute in Büchern tun, halten Sie den Cutoff groß, aber das Couping klein, und Sie werden nie in Schwierigkeiten geraten.

In den üblichen Lehrbucherklärungen beginnt man mit Unendlichkeiten und schiebt sie unter einen Renormierungsteppich, und es wird nirgends klar, warum die Störungstheorie mit solchen unendlichen Störungen gerechtfertigt ist.

Dies ist jedoch nur ein Problem der aktuellen Generation von Lehrbüchern, die normalerweise versuchen, einen Teil des historischen Prozesses der Entdeckung der Renormalisierung nachzubilden.

Es gibt alternative Wege zur Renormierung, die niemals auf Unendlich stoßen, sodass die Störungstheorie sinnvoll ist. Auf der Ebene der gewöhnlichen Quantenmechanik ist dies ziemlich einfach zu verstehen; siehe mein Paper http://arnold-neumaier.at/ms/ren.pdf

Eine fundierte Behandlung auf der Quantenfeldebene findet sich in Salmhofers Buch http://books.google.at/books?hl=en&lr=&id=nAXncL7_KrQC&oi=fnd&pg=PA1&dq=salmhofer+renormalization&ots=w9TM3hYqi0&sig=1zJAQirvfNmmoe4qAxN7mtBK9Hw . Aber das ist schon viel technischer.

Die Störung ist nicht gerecht${\cal L}_{CT}$, aber$-{\lambda\over 4!}\phi^4 + {\cal L}_{CT}$. Der erste Term liefert ebenfalls unendliche Beiträge und die Gegenterme werden genau zu dem Zweck hinzugefügt, die Differenz endlich zu machen. Der erste Begriff$\propto \phi^4$gibt unendliche Korrekturen nicht, weil das Physische$\lambda$unendlich ist, aber weil eine solche "Wechselwirkung" unendliche Korrekturen an den fundamentalen Konstanten ergibt und ohne sie zu subtrahieren, sind die Berechnungsergebnisse nutzlos.