Renormierung der Feldstärke bei Peskin&Schroeder

Sie haben sicherlich Recht, dass es andere Begriffe in der Summe gibt. Der Ableitungsterm ist jedoch aufgrund der Renormierungsbedingungen für das Skalarfeld null, und die anderen Terme werden als klein angenommen (wenn$p^2$ist weit entfernt von$m^2$die Diagramme sowieso so klein). Der Vollständigkeit halber hier die Herleitung:

Durch Ausführen einer unendlichen Summe über$1PI$Diagramme können wir den Propagator als schreiben

$$\begin{equation} \tag1 \frac{ i }{ p ^2 - m _0 ^2 + M ^2 ( p ^2 )} \end{equation}$$ Wo $- i M ^2$ist der Wert von allem $1PI$Beiträge.

Das Problem ist, dass aufgrund des optischen Theorems, wenn ein Teilchen zerfallen kann, es bedeutet, dass es eine imaginäre Komponente dazu hat$M ^2$Wir können also die Position des Pols nicht mehr mit der Masse identifizieren. Stattdessen definieren wir die Masse eines Teilchens durch:

$$\begin{equation} m ^2 - m _0 ^2 - \mbox{Re} ( M ^2 ( m ^2 ) ) = 0 \end{equation}$$

Unter Verwendung der obigen Gleichung schreiben wir den Propagator in Bezug auf physikalische Größen als:

$$\begin{align} \tag2 \frac{ i }{ p ^2 - m ^2 - M ^2 ( p ^2 ) } & \approx \frac{ i Z }{ p ^2 - m ^2 + Z\mbox{Re} M ^2 ( m ^2 ) - ZM ^2 ( p ^2 ) } \end{align}$$ An dieser Stelle erweitern wir, wie Sie sagten, die Korrektur: $$\begin{equation} \mbox{Re} M ^2 ( p ^2 ) = \mbox{Re} M ^2 ( m ^2 ) + \frac{ d \mbox{Re} M ^2 }{ d p ^2 } \bigg|_{ p ^2 = m ^2 } \left( p ^2 - m ^2 \right) + ... \end{equation}$$ Der Term erster Ordnung hebt sich im Propagator auf und der zweite Term ist Null aufgrund von Renormierungsbedingungen des Skalarfelds (siehe Gleichung 10.28 in Peskin). Um den Pol können wir also ungefähr schreiben: $$\begin{align} \frac{ i }{ p ^2 - m ^2 - M ^2 ( p ^2 ) } & \approx \frac{ i Z }{ p ^2 - m ^2 - iZ\mbox{Im} M ( p ^2 ) } \end{align}$$

Ab

$$\begin{equation} \tag1 \mathcal{P}\sim\frac{ \mathrm{i} }{ p ^2 - m _0 ^2 + M ^2 ( p ^2 )} \end{equation}$$ und wie Jeff betont, nach dem optischen Theorem *, $M^2$(für ein zerfallendes Teilchen) kann einen Imaginärteil ungleich Null haben. Damit definiert man die physikalische Masse $m$des Teilchens, nicht durch $$\begin{equation} m ^2 - m _0 ^2 - M ^2 ( m ^2 ) = 0, \end{equation}$$ wie man es sonst tut, sondern eher durch $$\begin{equation} \tag2 m ^2 - m _0 ^2 - \mbox{Re}\, M ^2 ( m ^2 ) = 0. \end{equation}$$ Jetzt $M^2(p^2)\tag3 = \mathrm{Re}\,M^2(p^2)+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Im}\,M^2(p^2).$

Erweitern nur des Realteils

$$\begin{equation} \tag4 \mbox{Re}\, M ^2 ( p ^2 ) = \mbox{Re}\, M ^2 ( m ^2 ) + \frac{ \mathrm{d}\, \mbox{Re}\, M ^2 }{ \mathrm{d} \,p ^2 } \bigg|_{ p ^2 = m ^2 } \left( p ^2 - m ^2 \right) + ... \end{equation}$$ und einstecken ( $2$), ( $3$) Und ( $4$) in unseren ursprünglichen Propagator ( $1$) wir finden

$$\begin{equation} \mathcal{P}\sim\frac{ \mathrm{i} }{ (p ^2 - m^2)\underbrace{\left(1-\frac{ \mathrm{d}\, \mbox{Re}\, M ^2 }{ \mathrm{d} \,p ^2 }\bigg|_{ p ^2 = m ^2 }\right)}_{Z^{-1}} -\mathrm{i}\cdot\mathrm{Im}\, M ^2 ( p ^2 )+\mathcal{O}\left((p ^2 - m^2)^2\right)} \\= \frac{ \mathrm{i}Z }{ (p ^2 - m^2) -\mathrm{i}Z\cdot\mathrm{Im}\, M ^2 ( p ^2 )+\mathcal{O}\left((p ^2 - m^2)^2\right)} \end{equation}$$ das wollten wir zeigen.

$$\begin{equation} ----------- \end{equation}$$ *(Siehe Gleichung $(7.49)$PS)