Wie kann man die Reihenfolge eines Feynman-Diagramms bestimmen?

Unter Verwendung elementarer graphentheoretischer Identitäten kann man zeigen, dass die Anzahl der Schleifen in einem verbundenen Diagramm mit der Anzahl der äußeren Linien und der Anzahl der Knoten des Typs zusammenhängt$i$jeder hat$n_i$daran angehängte Linien, ist verwandt mit

$$\sum \left(\frac{n_i}{2}-1\right) V_i -\tfrac{1}{2}E +1= L$$ Sie können das also für einen festen Prozess (fixed $E$) ist die Kenntnis der Anzahl der Scheitelpunkte jedes Typs gleichbedeutend mit der Kenntnis der Anzahl der Schleifen (die einer Vielzahl von Diagrammen in derselben "Reihenfolge" entsprechen können).

Im Standardmodell haben wir zwei Klassen von Scheitelpunkten; solche mit drei oder vier Linien. Wie Sie sehen können, wird die Angabe der Gesamtzahl der Scheitelpunkte (entsprechend der Reihenfolge in Bezug auf die Summe der Potenzen aller Kopplungskonstanten) die Anzahl der Schleifen nicht eindeutig festlegen, jedoch die Angabe der Anzahl der Scheitelpunkte jeder Klasse, Sie können eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Schleifenordnung und Kopplungskonstantenleistungsordnung erhalten, in diesem Fall sind beide äquivalent zur quantenmechanischen Expansion in Potenzen von$\hbar$.

Ableitung:

Um diese Formel abzuleiten, können Sie jede externe Linie als eine Art Scheitelpunkt behandeln, an dem nur eine Linie angehängt ist. Das ist$E\equiv V_1$und dazu korrespondierend$n_1=1$. Dann können wir umschreiben

$$\sum \left(\frac{n_i}{2}-1\right) V_i +1= L$$ Diese Formel kann durch Rekursion verstanden werden, zuerst beweisen wir, dass sie für Nullecken gilt, aber das ist offensichtlich, da wir für Nullecken haben $L=1$, zeichne einfach einen Kreis!

Um nun durch Rekursion zu beweisen, nehmen wir an, dass die Formel korrekt ist, und beweisen dies, wenn wir einen Scheitelpunkt des Typs hinzufügen$i$, müssen wir vorstellen$(n_i/2-1)$neue Schleifen. Dies kann leicht gesehen werden, indem Sie Ihr Diagramm nehmen und irgendwo auf einer internen Linie einen Scheitelpunkt setzen (beachten Sie, dass wir nicht mehr zwischen internen und externen Linien unterscheiden, weil$E$ist jetzt nur eine andere Art von Vertex).

Wenn Sie diesen Scheitelpunkt einfügen, werden zwei seiner Beine bereits automatisch gegessen, also müssen wir die verbleibenden verbinden$n_i-2$Beine, beachten Sie, dass wir sie miteinander verbinden müssen, da alle anderen Scheitelpunkte bereits gesättigt sind, und das Hängenlassen eines Beins gleichbedeutend mit der Einführung eines externen Scheitelpunkts ist, was wir nicht durch Annahme tun. Jetzt ist dies nur möglich, wenn$n_i$gerade ist, in diesem Fall erhalten wir$(n_i-2)/2$neue Schleifen, was die Rekursion für gerade Knoten beweist. Wenn der Scheitelpunkt ungerade ist, müssen wir sie paarweise einführen, und die gleiche Diskussion folgt.

Die Ordnung einer Größe bezieht sich im Allgemeinen auf den Exponenten der Größe in einem Ausdruck, dh

$$x^3y^2$$ wäre 3. Ordnung drin $x$und 2. Ordnung in $y$. Gemäß den Feynman-Regeln trägt jeder Scheitelpunkt in einem Feynman-Diagramm einen Faktor der Kopplungskonstante bei, sodass die Ordnung jeder Kopplungskonstante einfach die Anzahl der Scheitelpunkte dieser Wechselwirkung ist. Beispielsweise ist das erste Diagramm in zweiter Ordnung $\alpha$.

In QFT ist es üblich, wo natürliche Einheiten zu verwenden$\hbar = c = 1$. Wenn Sie sich jedoch nicht an diese Konvention halten, entspricht die Anzahl der Schleifen in Ihrem Diagramm der Potenz von$\hbar$in Ihrer endgültigen Menge. Baumdiagramme haben keine Abhängigkeit von$\hbar$überhaupt und in gewisser Weise als das rein "klassische" Ergebnis angesehen werden, wobei höhere Schleifendiagramme Ihnen die Quantenkorrekturen liefern. Wenn Leute über die Ordnung eines Diagramms sprechen, ohne eine Kopplungskonstante zu erwähnen, ist dies oft, aber nicht immer, das, was sie meinen; es kommt wirklich auf den Kontext an.