Renormierungsgruppe und Summierung von Diagrammen

Question

Renormierungsgruppe und Summierung von Diagrammen

Physik
Renormalisierung
Feynman-Diagramme
Störungstheorie
Quantenfeldtheorie

Aleksandr Artemev

Derzeit studiere ich die Renormalisierungsgruppe und habe Probleme, die folgende Aussage zu verstehen, die ich fast überall in Büchern über QFT sehe: Die Renormalisierungsgruppe summiert eine Reihe divergierender Diagramme.

In bestimmten Beispielen, wie 1-Loop-Korrekturen am Photonenpropagator, ist es klar: Wir betrachten eine folgende Reihe. Sie summiert sich als geometrische Progression und gibt die gewünschte Antwort, genauso wie die RG-Gleichung liefert, wenn wir einen Beitrag zur Beta-Funktion von betrachten erstes Diagramm. Aber gibt es eine Möglichkeit, konkrete Reihen von Diagrammen zu konstruieren und zu betrachten, die wir durch die Verwendung der RG-Gleichung in einer bestimmten Reihenfolge in einem beliebigen Fall neu zusammengefasst haben, um herauszufinden, welche Beiträge wir übersehen haben?

Sprich, wir haben eine $\phi^4$ Theorie. Die Beta-Funktion in One-Loop ist $\beta(\lambda) = \frac{3\lambda^2}{16\pi^2}$ ist gegeben durch einen ersten divergenten Beitrag zur 4-Punkt-Funktion - Diagramm mit einer "Blase"; der Faktor 3 kommt von der Kreuzungssymmetrie. Durch Lösen der RG-Gleichungen erhalten wir für eine laufende Kopplung eine Skalenkonstante $p$

$\lambda(p) = \frac{\lambda(\mu)}{1 - \frac{3\lambda}{16\pi^2} \log p/\mu}$

Wo $\mu$ ist die Referenzskala. Wenn wir den Nenner erweitern, sehen wir eine Reihe, die so aussieht, als wäre sie durch eine Reihe von Störungsausdehnungstermen gegeben; Das erste sind nur die "Ein-Blasen-Diagramme". Aber ich konnte auch in der nächsten Reihenfolge nicht herausfinden, welche Diagramme verschiedenen Begriffen entsprechen, insbesondere um den seltsamen Faktor 9 wiederzugeben.

M.Jo

Wie nennt man den „seltsamen Faktor 9“? Die schematische Erweiterung für die Renormierung der

ϕ^{4}

$\phi^4$ Scheitelpunkt sieht aus wie >< + >O< + >OO< + ... (Entschuldigung für die Verwendung einer solchen einfachen Zeichnung für Feynman-Diagramme, aber ich denke, es sollte klar sein, oder?)

Aleksandr Artemev

Ja, Bilder sind verständlich :) Der Faktor 9 erscheint, wenn Sie die Antwort erweitern, die RG für die laufende Kopplung auf die 3. Ordnung in Lambda gibt. Wenn wir diese Antwort so interpretieren, als ob wir eine Reihe von Diagrammen summieren würden, was viele Autoren vorschlagen, deutet dies darauf hin, dass die Diagramme, die etwas in der Größenordnung von Lambda^2 log^2 (Lambda/p) beitragen, insgesamt einen Faktor von ergeben sollten 9/(16pi^2)^2. Das >00<-Diagramm gibt nur 1/9 davon, bei Kreuzungssymmetrie wird es 3 mal größer, aber es reicht immer noch nicht; bei höheren Expansionsordnungen wird die Situation noch schlimmer.

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Renormierungsgruppe und Summierung von Diagrammen

Wie nennt man den „seltsamen Faktor 9“? Die schematische Erweiterung für die Renormierung der $\phi^4$ Scheitelpunkt sieht aus wie >< + >O< + >OO< + ... (Entschuldigung für die Verwendung einer solchen einfachen Zeichnung für Feynman-Diagramme, aber ich denke, es sollte klar sein, oder?)
Ja, Bilder sind verständlich :) Der Faktor 9 erscheint, wenn Sie die Antwort erweitern, die RG für die laufende Kopplung auf die 3. Ordnung in Lambda gibt. Wenn wir diese Antwort so interpretieren, als ob wir eine Reihe von Diagrammen summieren würden, was viele Autoren vorschlagen, deutet dies darauf hin, dass die Diagramme, die etwas in der Größenordnung von Lambda^2 log^2 (Lambda/p) beitragen, insgesamt einen Faktor von ergeben sollten 9/(16pi^2)^2. Das >00<-Diagramm gibt nur 1/9 davon, bei Kreuzungssymmetrie wird es 3 mal größer, aber es reicht immer noch nicht; bei höheren Expansionsordnungen wird die Situation noch schlimmer.

Seth Whitsitt · Answer 1

Es gibt keinen Sinn, in dem die zusätzlichen Terme, die durch die Verwendung der Renormierungsgruppe erhalten werden, einer bestimmten Teilmenge von Feynman-Diagrammen entsprechen. Wie Sie bereits darauf hingewiesen haben, z $\phi^4$ Theoretisch ist es nicht wahr, dass Sie einfach die "Blasen" -Diagramme summieren; Sie müssen alle Korrekturen berechnen, und dann enthalten diese Korrekturen das Richtige $\log^2(p/\mu)$ Abhängigkeit, die durch die Erweiterung Ihrer effektiven Kopplung vorhergesagt wird, enthält aber auch andere Begriffe.

Das Argument, dass Sie die Form dieser Terme höherer Ordnung vorhersagen können, kann wie folgt lauten, indem dimensionale Regularisierung verwendet wird. Bei Erstbestellung in $\phi^4$ Theorie, erhalten Sie

Γ^{(4)} (P) = μ^{ϵ} u_{0} {1 - \frac{3 u_{0}}{16 π^{2} ϵ} [1 + ϵ Protokoll (P / μ)] + \dots} .

$\Gamma^{(4)}(p) = \mu^{\epsilon} u_0 \left\{ 1 - \frac{3 u_0}{16 \pi^2 \epsilon} \left[ 1 + \epsilon \log(p/\mu) \right] + \cdots \right\}.$ Hier nehme ich

Γ^{(4)} (k_{i})

$\Gamma^{(4)}(k_i)$ die mit Gesamtimpuls definierte Vierpunktfunktion sein

p

$p$ fließt durch sie hindurch. Die weggelassenen Terme in den Auslassungspunkten sind impulsunabhängig und endlich für

ϵ \to 0

$\epsilon \rightarrow 0$ .

An dieser Stelle führt man eine renormierte Kopplung ein, um den divergenten Term zu subtrahieren,

u_{0} = u (1 + \frac{3 u}{16 π^{2} ϵ}),

$u_0 = u \left( 1 + \frac{3 u}{16 \pi^2 \epsilon} \right),$ und dies reicht aus, um die Korrelationsfunktion zu renormieren

O (u^{2})

$O(u^{2})$ .

Wie verwenden wir dieses Ergebnis, um Informationen über Beiträge höherer Ordnung zu erhalten? Nun, wir können bereits ein bestimmtes ablesen $O(u^3)$ Beitrag nur von der Feststellung, dass wir einen Begriff haben werden

Γ^{(4)} \supset \frac{18 u^{3}}{(16 π^{2}) ϵ} Protokoll (P / μ)

$\Gamma^{(4)} \supset \frac{18 u^3}{(16 \pi^2) \epsilon} \log(p/\mu)$ kommt vom Gegenbegriff für

u_{0}

$u_0$ oben definiert. Ein solcher Term ist zunächst sehr beunruhigend, da es sich um eine impulsabhängige Divergenz handelt – wir können diese nicht mit Gegentermen subtrahieren! Damit die Theorie Sinn macht, muss es also sein, dass bei zwei Schleifen eine entsprechende Divergenz mit identischer Impulsabhängigkeit entsteht, um diese aufzuheben. Natürlich, innerhalb der dimensionalen Regularisierung, die

l o g (p / μ)

$log(p/\mu)$ Abhängigkeit entsteht immer durch Erweiterung einer Funktion wie

(p / μ)^{ϵ}

$(p/\mu)^{\epsilon}$ . Insbesondere müsste die obige Abweichung von einem Begriff wie kommen

- \frac{18 u^{3}}{(16 π^{2}) ϵ^{2}} (P / μ)^{ϵ} = - \frac{18 u^{3}}{(16 π^{2}) ϵ^{2}} - \frac{18 u^{3}}{(16 π^{2}) ϵ} Protokoll (P / μ) - \frac{9 u^{3}}{(16 π^{2})} {Protokoll}^{2} (P / μ)

$-\frac{18 u^3}{(16 \pi^2) \epsilon^2} (p/\mu)^{\epsilon} = -\frac{18 u^3}{(16 \pi^2) \epsilon^2} - \frac{18 u^3}{(16 \pi^2) \epsilon} \log(p/\mu) - \frac{9 u^3}{(16 \pi^2)} \log^2(p/\mu)$ Wenn dieser Begriff also bei zwei Schleifen auftaucht (und das muss sein, damit dieses Renormierungsschema Sinn macht), folgt daraus, dass man auch die benötigt

- \frac{9 u^{3}}{(16 π^{2})} \log^{2} (p / μ)

$- \frac{9 u^3}{(16 \pi^2)} \log^2(p/\mu)$ Begriff. Aber in diesem speziellen Fall wird der Term von mehreren (alle?) Zwei-Schleifen-Diagrammen generiert, die wiederum andere Terme beitragen, die Ein-Schleifen-RG nicht kennt.

Vielen Dank für die Antwort! Es ist ein interessantes Argument, das Sie vorgebracht haben, das ich noch nie gesehen habe. Ich und mein Vorgesetzter glauben immer noch, dass es eine sinnvolle Entsprechung zwischen den Begriffen der RG-Antworterweiterungen und (zumindest den singulärsten Begriffen in) einem bestimmten Satz von Diagrammen in einer bestimmten Schleife geben sollte. Es sieht so aus, als ob die Diagramme, die einen solchen Beitrag liefern, ziemlich einfach beschrieben und iterativ erstellt werden können, aber es ist noch nur eine Vermutung. Ich frage mich auch immer noch, wie genau die RG-Differentialgleichung diese genauen Beiträge auswählt und wie man sie allein anhand der Gleichung sehen kann ...
Es würde mich auf jeden Fall interessieren, ob es eine einfache Entsprechung zwischen bestimmten Diagrammen und den von RG summierten Begriffen gäbe. In $\phi^4$ Theorie bei zwei Schleifen, ich glaube, jedes Diagramm wird benötigt, aber es wäre cool, wenn sich das bei höheren Schleifen dramatisch vereinfachen würde.

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Aleksandr Artemev

M.Jo

Aleksandr Artemev

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Aleksandr Artemev

Seth Whitsitt

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