Verbundene Teile von Feynman-Diagrammen und Green-Funktionen

Ich habe Zweifel an der folgenden Formel (Label (1))

⟨ Ω | T { ϕ ( X ) ϕ ( j ) } | Ω ⟩ = lim T → ∞ ( 1 − ich ϵ ) ⟨ 0 | T [ ϕ ich ( X ) ϕ ich ( j ) exp ⁡ { − ich ∫ − T T D T v ( T ) } ] | 0 ⟩ ⟨ 0 | U ( T , − T ) | 0 ⟩

in der Störungstheorie, wo H = H 0 + v , | Ω ⟩ Ist H Grundzustand, |   0 ⟩ Ist H 0 Grundzustand, v eine schwache Störung damit ⟨ Ω | 0 ⟩ ≠ 0 , T [ ] ist das zeitgeordnete Produkt und ϕ ich ( X ) bezeichnet das skalare Quantenfeld im Wechselwirkungsbild. In der schwachen Wechselwirkung u T → ∞ Annäherungen, es wird festgestellt, dass | Ω ⟩ kann aus dem Grundzustand des freien Hamiltonian durch eine Zeitentwicklung erhalten werden, dh | Ω ⟩ = lim T → ∞ ( 1 − ich ϵ ) ( e − ich E 0 T ⟨ Ω | 0 ⟩ ) − 1 e − ich H T | 0 ⟩ , Wo H 0 | Ω ⟩ = E 0 | Ω ⟩ .

Bei Peskin-Schroeder wird erklärt, wie der Nenner zum Ausschluss der nicht zusammenhängenden Teile des Feynman-Diagramms führt. Nun, mein Zweifel ist: ob die (n-Punkte) Green-Funktion durch gegeben ist

G ( N ) ( X 1 , . . . , X N ) = ⟨ T [ ϕ ( X 1 ) . . . ϕ ( X N ) ] ⟩ 0

Und | Ω ⟩ ist durch die Evolution von gegeben | 0 ⟩ , wie kommt es, dass Gleichung (1) die zusammenhängenden Teile der Diagramme liefert ?

Bei expliziter Berechnung kann festgestellt werden, dass der Nenner eine Folge des Umschreibens der obigen Klammern mit dem gesamten hamiltonschen Grundzustand in Bezug auf den freien hamiltonschen Grundzustand ist. Ich habe mich also gefragt, ob das Erhalten der verbundenen Green-Funktion eine bloße Folge der beiden Annäherungen und damit der untersuchten Theorie ist.

Antworten (1)

Ich gehe davon aus, dass wir in der Störungstheorie mit einer festen Ordnung arbeiten, sodass die Menge aller möglichen Feynman-Graphen endlich ist. Ich gehe auch davon aus, dass die Theorie so regularisiert wurde, dass alle Graphen zu endlichen Amplituden ausgewertet werden.

Wir nennen ein Blasendiagramm ein Feynman-Diagramm ohne äußere Beine.

Wir nennen einen zusammenhängenden Graphen ein Feynman-Diagramm, so dass sich zwischen seinen zusammenhängenden Komponenten keine Blasen befinden. Wichtig: Beachten Sie, dass diese Definition, obwohl sie in vielen QFT-Lehrbüchern häufig verwendet wird, etwas kontraintuitiv ist. Normalerweise ist ein verbundener Graph ein Graph mit einer einzigen verbundenen Komponente. Nicht so hier!

Betrachten Sie einen beliebigen Feynman-Graphen G . Wir können es natürlich in den verbundenen Teilgraphen aufteilen G 0 (im oben definierten Sinne) und der Blasengraph G B , die im allgemeinen Fall eine Vereinigung von Blasen ist. Das kann direkt aus den Feynman-Regeln entnommen werden

Ampere ( G ) = Ampere ( G 0 ) ⋅ Ampere ( G B ) .

Betrachten Sie nun eine Summe aller möglichen Feynman-Graphen mit einem festen Satz externer Beine. Diese Summe liegt über dem kartesischen Produkt von verbundenen Graphen (im oben definierten Sinne) und Blasengraphen. Somit wird die Summe herausgerechnet als

∑ Grafiken = ∑ verbundene Graphen ⋅ ∑ Blasendiagramme .

Dieses Ergebnis wird als "Blasenfaktorisierungsformel" bezeichnet.

Beachten Sie nun, dass der Nenner in Ihrer Formel nur ein Sonderfall des Zählers ist, wo es vorher keine Feldoperatoren gibt U ( T , − T ) = T exp ⁡ { − ich ∫ − T T D T v ( T ) } , oder in unserer schematischen Terminologie, wo es keine äußeren Beine gibt. Es gibt nur einen verbundenen Graphen ohne externe Beine, nämlich den leeren Graphen ∅ ohne Scheitelpunkte und ohne Kanten, wofür (wieder direkt aus den Feynman-Regeln)

Ampere ( ∅ ) = 1.

Daraus schließen wir, dass der Nenner nur eine Summe von Blasengraphen ist, und aus der Blasenfaktorisierungsformel schließen wir, dass der Bruch gleich der Summe der verbundenen Graphen ist.

All diese Überlegungen können präzisiert werden, wenn wir eine höhere Ordnung der Störungstheorie und ein Regularisierungsschema einführen, wie es in meiner Antwort angenommen wurde.

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