Verwenden Sie mein Beispiel, um zu erklären, warum das Schleifendiagramm in der klassischen Bewegungsgleichung nicht auftritt.

1. Störende Expansion. OPs$\phi^4$Theoriebeispiel ist ein Sonderfall. Betrachten wir eine allgemeine Aktion der Form

   $$S[\phi] ~:=~\underbrace{S_2[\phi]}_{\text{quadratic part}} + \underbrace{S_{\neq 2}[\phi]}_{\text{the rest}}, \tag{1}$$ mit nicht entartetem quadratischem Anteil$^1$ $$S_2[\phi] ~:=~\frac{1}{2} \phi^k (S_2)_{k\ell} \phi^{\ell} . \tag{2}$$ Der Rest$^2$ $S_{\neq 2}=S_0+S_1+S_{\geq 3}$enthält konstante Terme$S_0$, Kaulquappen-Begriffe$S_1[\phi]=S_{1,k}\phi^k$, und Interaktionsterme$S_{\geq 3}[\phi]$.

2. Die Partitionsfunktion$Z[J]$kann formal geschrieben werden als

   $$\begin{align} Z[J] ~:=~~~& \int {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S[\phi] +J_k \phi^k \right)\right\} \cr ~\stackrel{(1)}{=}~~~& \exp\left\{\frac{i}{\hbar} S_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\}\cr &\int {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S_2[\phi] +J_k \phi^k \right)\right\} \cr \stackrel{\text{Gauss. int.}}{\sim}&~ {\rm Det}\left(\frac{1}{i} (S_2)_{mn}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{\frac{i}{\hbar} S_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\} \cr &\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} J_k (S_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\}, \end{align}\tag{3}$$ nach Gaußscher Integration. Hier$^1$ $$G^{k\ell}~=~-(S_2^{-1})^{k\ell} \tag{4}$$ ist der freie Propagator. Die RHS von Gl. (3) stellt die Summe von allem dar$^3$Feynman-Diagramme, die aus Scheitelpunkten, freien Propagatoren und externen Quellen erstellt wurden$J_k$.

3. Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen$^4$

   $$- J_k ~\approx~\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi^k}~\stackrel{(1)+(2)}{=}~ (S_2)_{k\ell}\phi^{\ell} +\frac{\delta S_{\neq 2}[\phi]}{\delta \phi^k} \tag{5}$$ kann in eine Fixpunktgleichung umgewandelt werden$^5$ $$\phi^{\ell}~\approx~-(S_2^{-1})^{\ell k}\left( J_k + \frac{\delta S_{\neq 2}[\phi]}{\delta \phi^k} \right),\tag{6}$$ deren wiederholte Iterationen (gerichtete Wurzel-) Bäume erzeugen (mit a$\phi^{\ell}$als Wurzel und$J$s & Kaulquappen als Blätter), im Gegensatz zu Schleifendiagrammen, vgl. Berechnung von OP. Dies beantwortet die Fragen von OP.

Lassen Sie uns zum Schluss einige hoffentlich hilfreiche Fakten über die Baumebene hinaus erwähnen.

I) Das Linked-Cluster-Theorem . Das erzeugende Funktional für verbundene Diagramme ist

$$W_c[J]~=~\frac{\hbar}{i}\ln Z[J]. \tag{7}$$

Für einen Beweis siehe zB diesen Phys.SE Beitrag. Es genügt also, zusammenhängende Diagramme zu studieren.

II) Die$\hbar$/loop-expansion. Gehe davon aus, dass die$S[\phi]$Aktion (1) nicht$^6$explizit abhängen$\hbar$. Dann die Bestellung von$\hbar$in einem zusammenhängenden Diagramm mit$E$äußere Beine$^7$ist die Zahl$L$der unabhängigen Schleifen, dh die Anzahl der unabhängigen$4$-Wellenvektor$^8$Integrationen.

Nachweisen. Wir folgen hier Ref. 1. Lass$I$sei die Anzahl der internen Propagatoren und$V$die Anzahl der Ecken.

Einerseits gibt es für jeden Scheitelpunkt eine 4-Wellen-Vektor-Dirac-Delta-Funktion. Bis auf 1 Scheitelpunkt, weil die äußeren Beine bereits die totale Wellenvektorerhaltung erfüllen. (Erinnern Sie sich daran, dass die Raumzeit-Translationsinvarianz impliziert, dass jedes verbundene Feynman-Diagramm im Wellenvektorraum proportional zu einer Dirac-Delta-Funktion ist, die eine vollständige 4-Wellenvektor-Erhaltung auferlegt.) The$V$Ecken geben also nur nach$V-1$Einschränkungen unter den$I$Wellenvektorintegrationen. Mit anderen Worten, die Anzahl der unabhängigen Schleifen ist$^9$

$$L~=~I-(V-1). \tag{8}$$ Andererseits folgt es$^{10}$aus der rechten Seite von Gl. (3) dass wir einen haben$\hbar$für jeden internen Propagator, keinen für jeden externen Zweig und einen$\hbar^{-1}$für jeden Scheitel. Es gibt auch einen einzigen zusätzlichen Faktor von$\hbar$von rechts. von Gl. (7). Insgesamt die Macht von$\hbar$s des verbundenen Diagramms ist $$\hbar^{I-V+1}~\stackrel{(8)}{=}~\hbar^{L},\tag{9}$$ dh gleich der Zahl$L$von Schleifen.$\Box$

III) Insbesondere das Generieren von Funktional zusammenhängender Diagramme

$$W_c[J]~=~W_c^{\rm tree}[J]+W_c^{\rm loops}[J]~\in~ \mathbb{C}[[\hbar]]\tag{10}$$ ist eine Potenzreihe in$\hbar$, dh es enthält keine negativen Potenzen von$\hbar$. Im Gegensatz dazu die Partitionsfunktion $$Z[J]~=~\underbrace{\exp(\frac{i}{\hbar}W_c^{\rm tree}[J])}_{\in \mathbb{C}[[\hbar^{-1}]]}~\underbrace{\exp(\frac{i}{\hbar}W_c^{\rm loops}[J])}_{\in \mathbb{C}[[\hbar]]}\tag{11}$$ ist eine Laurent-Serie in$\hbar$.

Verweise:

1. C. Itzykson & JB Zuber, QFT, 1985, Abschnitt 6-2-1, S. 287-288.

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$^1$Wir verwenden die komprimierte DeWitt-Notation , um die Notation nicht zu überladen. Wenn wir Gl. (2) in seiner vollen Pracht lautet es

$$S_2[\phi]~=~\frac{1}{2}\int\!d^dx\int\!d^dy~\phi^{\alpha}(x)~(S_2)_{\alpha\beta}(x,y)~\phi^{\beta}(y)\tag{12}$$ nach eventueller partieller Integration. Hier hat der Integrationskern typischerweise die Form $$(S_2)_{\alpha\beta}(x,y)~=~\delta_{\alpha\beta}~(\Box-m^2)\delta^d(x-y)\tag{13}$$ mit dem$(-,+,...,+)$Minkowski-Zeichenkonvention. Setzen wir entsprechende Randbedingungen in Gl. (4), der inverse Integrationskern $$(S_2^{-1})^{\alpha\beta}(x,y)~=~\delta^{\alpha\beta}~(\Box-m^2)^{-1}\delta^d(x-y)~=~-G^{\alpha\beta}(x,y)\tag{14}$$ minus der Greens-Funktion ist $$(-\Box+m^2)G^{\alpha\beta}(x,y)~=~\delta^{\alpha\beta} ~\delta^d(x-y)\tag{15}$$ mit Fouriertransformation $$\widetilde{G}^{\alpha\beta}(k)~=~\frac{\delta^{\alpha\beta}}{k^2+m^2-i\epsilon}.\tag{16}$$

$^2$Wenn wir die Aktion aufteilen

$$S[\phi] ~=~\underbrace{S_1[\phi]+S_2[\phi]}_{\text{free part}}+\underbrace{S_{\neq 12}[\phi]}_{\text{the rest}}\tag{17}$$ (durch Einbeziehung von Kaulquappen in den freien Teil), dann wird der Propagatorfaktor auf der rechten Seite von Gl. (3) wird $$\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} (S_{1,k}+J_k) (S_2^{-1})^{k\ell} (S_{1,\ell}+J_{\ell}) \right\}.\tag{18}$$ Umgekehrt könnten wir quadratische Terme in formal zulassen$S_{\neq 2}$Teil auch, zB wenn wir einen Massenterm als 2-Knoten-Wechselwirkung behandeln wollen. Dies würde natürlich die Logik hinter dem tiefgestellten Label der Notation ruinieren$S_{\neq 2}$, aber das ist ein akzeptabler Preis :)

$^3$Der Gaußsche Determinantenfaktor${\rm Det}\left(\frac{1}{i} (S_2)_{mn}\right)^{-1/2}$(was wir normalerweise ignorieren) wird als Feynman-Diagramm interpretiert, das nur aus freien Propagatoren ohne Knoten erstellt wurde, obwohl die genaue Interpretation ziemlich subtil ist. Beachten Sie zB, dass, wenn wir den Massenterm im freien Propagator als a umklassifizieren$2$-Vertex-Wechselwirkung verschiebt sich der Massenbeitrag vom bestimmenden Faktor zum Wechselwirkungsanteil in Gl. (3).

$^4$Der$\approx$Symbol bedeutet Gleichheit modulo eqs. der Bewegung.

$^5$Tatsächlich ist Gl. (6) kann als Operade angesehen werden . Etwas zu stark vereinfacht, während ein Operator einen Eingang und einen Ausgang hat, kann ein Operand mehrere Eingänge haben, aber immer noch nur einen Ausgang. Operaden können zusammengesetzt werden und dadurch einen (gerichteten Wurzel-) Baum bilden (wobei die einsame Ausgabe die Wurzel ist).

$^6$Um die Aktion zu halten$S$ohne explizit$\hbar$-Abhängigkeit, müssen wir möglicherweise Massenparameter entsprechend neu definieren $m^{\prime}=\frac{mc}{\hbar}$, Kopplungskonstanten $e^{\prime}=\frac{e}{\hbar}$, etc. Wenn die Interaktionsbedingungen in der Aktion$S$hänge davon ab$\hbar$, dann enthält ein Diagramm die übliche Schleifenleistung$L$von$\hbar$s plus eine Reihe von Potenzen von$\hbar$von den entsprechenden Ecken.

$^7$Wir gehen davon aus, dass die Quellen$J_k$werden entweder aus dem Feynman-Diagramm entfernt oder sind Deltafunktionen im Wellenvektorraum, sodass die äußeren Beine feste 4-Wellenvektoren tragen.

$^8$Um keine zusätzlichen Faktoren einzuführen$\hbar$Lassen Sie uns bei der Fourier-Transformation mit einem 4 -Wellenvektor arbeiten $k$statt 4-Impuls$p=\hbar k$.

$^9$Wenn das Feynman-Diagramm planar ist, dann ist es ein Polygonnetz einer Scheibe , dh seine Euler-Charakteristik ist$\chi=1$. Vergleich mit Gl. (8), sehen wir, dass die Zahl$L$der unabhängigen Schleifen ist dann die Anzahl der Flächen.

$^{10}$Die RHS von Gl. (3) ergibt, dass ein Propagator angehängt ist$n$Quellen trägt mit einem Faktor bei$\hbar^{1-n}$, Wo$n\in\{0,1,2\}$.

Meine Worte helfen nicht bei der Beantwortung der Frage, aber ich möchte nur etwas zur Analogie zwischen der klassischen Störungsfeldtheorie und den Amplituden auf QFT-Baumebene verdeutlichen.

• Die Quantenfeldtheorie auf Baumebene, die Streuexperimente einer sehr kleinen Anzahl von Quantenanregungen im Vakuum beschreibt, sind hochgradig quantenmechanische Phänomene.

• Die klassische Feldtheorie hingegen beschreibt die Streuung zwischen klassischen Wellen. Das Verhalten eines großen Clusters von QFT-Anregungen konnte durch klassische Wellen angenähert werden.

Es handelt sich um zwei völlig unterschiedliche Bereiche der Physik. Eine klassische Feldtheorie könnte auf keinen Fall zu Quantenstreuexperimenten führen, obwohl sie Analoga von Baumebenendiagrammen hervorbringt.

Dies ist vielleicht nur meine eigene kleine Lösung für meine eigene kleine Verwirrung, aber ich habe gehört, dass Leute die Begriffe Klassik und Baumebene leichtsinnig vertauscht haben.

Als Beispiel für diese Disanalogie: Während die Verletzung der Einheitlichkeit ein großes Problem für die QFT auf Baumebene ist, halte ich sie für die klassische Wellenstreuung für nicht relevant, solange die Welle klassisch ist (die Wellenenergie hoch genug ist). enthalten viele Feldquanten).(Entschuldigung, dieses Beispiel ist wahrscheinlich falsch)

Die Erklärung von Qmechanic ist knackig und präzise. Lassen Sie mich jedoch eine einfachere, aber begrenzte Erklärung geben: -

Beginnend mit dem Pfadintegral. Wir erhalten den klassischen Grenzwert, indem wir h gegen den Grenzwert Null streben. In dieser Grenze ist der führende Ordnungsterm, der zum erzeugenden Funktional beiträgt, die klassische Wirkung. Die Variation erster Ordnung ist null, und wir ignorieren die Variation zweiter Ordnung. Da nun der vollständige Beitrag von der klassischen Aktion stammt, ist EOM erfüllt und externe Zustände gehorchen der üblichen Ep-Dispersionsrelation

In einem Schleifenintegral integrieren wir jedoch über alle 4 Komponenten der Impulse und behandeln sie als unabhängig, dh die Impulse sind aus der Schale, was wie oben erklärt nicht passieren kann, wenn Sie die klassische Grenze genommen haben.

Natürlich ist dieses Argument nur darauf beschränkt, zu verstehen, warum wir im klassischen Limit keine Schleifen an äußeren Beinen haben können. Dieses Argument schränkt Schleifen in den internen Zeilen nicht ein.

Kann jemand darauf hinweisen, ob dieses Argument einen größeren Fehler aufweist, und kann es geändert werden, um auch eine Aussage darüber zu machen, dass keine Schleifen in internen Leitungen vorhanden sind?

Der beste Weg, dies zu verstehen, sind die Schwinger-Dyson-Gleichungen. Lesen Sie von Matthew Schwarz.