Warum werden Ableitungen in Interaktionstermen anders behandelt als Ableitungen in kinetischen Termen?

Das hat damit zu tun, wie wir die Störungstheorie aufgestellt haben, indem wir einen Teil der Lagrange-Funktion als „frei“ und damit genau behandelt behandeln und den Rest als „Störung“. Als ganz einfaches Beispiel. Betrachten Sie das Gaußsche Integral

$$I = \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-a^2 x^2 - \epsilon^2 x^2}.$$ Der genaue Wert dieses Integrals ist $$I = \sqrt{\frac{\pi}{a^2 + \epsilon^2}}$$ wo beides$a$Und$\epsilon$landen im Nenner. Auf der anderen Seite können wir uns vorstellen$e^{-a^2 x^2}$als "freier" Teil und$e^{-\epsilon^2 x^2}$als "Störung". Dann nach niedrigster Ordnung rein$\epsilon$, $$I \approx \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-a^2 x^2} (1 - \epsilon^2 x^2) = \frac{\sqrt{\pi}}{a} - \frac{\sqrt{\pi}}{2a^3} \epsilon^2.$$ Also, während$\epsilon$war ursprünglich im Nenner, durch Behandlung als Störung landet es im Zähler; dies wird klar, indem wir einfach unseren exakten Ausdruck for erweitern$I$. Durch die Zusammenfassung aller Beiträge,$\epsilon$landet erwartungsgemäß wieder im Nenner.

Im Wesentlichen dasselbe passiert, wenn Sie die Feynman-Regeln mit der Pfadintegralformulierung ableiten. Dies ist am deutlichsten in der renormierten Störungstheorie, wo derselbe kinetische Term sowohl im "freien" als auch im "Störungs"-Teil vorkommt.

Informell gesprochen (ich weiß nicht, ob dies genauer gesagt werden kann) können wir die kinetischen Terme so behandeln, als hätten sie die Feynman-Regel$\sim p^2$, auf gewisse Art und Weise.

Betrachten Sie den massiven Fall:$\mathcal{L}=|\partial\phi|^2 - m^2\phi^2$. Wir könnten sagen, dass wir eine Feynman-Regel geben$-p^2$für Knoten mit zwei Feldern. Dann hätten wir$1/m^2$als führender Ordnungspropagator und die Summe aller Beiträge wäre:

$$\frac{1}{m^2} - \frac{1}{m^2} p^2 \frac{1}{m^2} + \frac{1}{m^2} p^2 \frac{1}{m^2} p^2 \frac{1}{m^2} + \cdots = \frac{1}{p^2 + m^2}.$$

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Bei der Störungstheorie ist es unvermeidlich, einen quadratischen Teil abzutrennen , damit Sie berechnen können

$$\left<\mathcal{O}\right> = \int D\phi \, \mathcal{O}(\phi) \,e^{\int\phi D \phi + iS_{\text{int}}(\phi)}$$

indem man die Inverse eines Differentialoperators berechnet$D$, was Propagator und Expanding gibt$e^{S_{\text{int}}}$in Potenzen von$\phi$. Am Ende bekommen wir also, was drin ist$D$(einschließlich$p^2$) im Nenner und die Dinge, die darin erscheinen$S_{int}$im Zähler.