Wie berechnet man die quanteneffektive Wirkung aus 1PI-Feynman-Diagrammen?

Auf Seite 33 dieser Notizen von David Skinner wird das behauptet

[ausgehend von einem verbundenen Graphen und Entfernen der Brücken] sagt uns, wie man rechnet Γ ( Φ ) störend von der ursprünglichen Aktion: Γ ( Φ ) besteht aus allen möglichen 1PI-Feynman-Graphen, die unter Verwendung der Propagatoren und Scheitelpunkte in konstruiert werden können S ( ϕ ) .

Allerdings kann ich nicht genau entziffern, was das bedeutet. Wie geht man mit dem Rechnen um? Γ ( Φ ) Verwenden von Feynman-Diagrammen wie beschrieben? Durch das Ausschreiben der 1PI-Feynman-Diagramme sollte ich nicht nur eine Zahl erhalten, sondern die effektive Aktion mit einer expliziten Φ Abhängigkeit?

BEARBEITEN: Ich habe den Beweis gelesen, dass die effektive/richtige Aktion das Generieren von Funktionen von Ein-Teilchen-irreduziblen (1PI) Korrelationsfunktionen ist , aber ich verstehe nicht, wie wir damit direkt berechnen können Γ ?

Angenommen, Sie haben W(J) für eine einfache Theorie berechnet, bleibt nur noch die Legendre-Transformation zu berechnen, um Gamma(Phi) zu erhalten. Sie haben Phi(J) aus der Definition, also müssen Sie letztere nur umkehren, um J(Phi) zu erhalten. Diese Inversion kann explizit innerhalb der Störungstheorie durchgeführt werden, probieren Sie es aus. Dann wird kristallklar, wie und warum 1PI- und Feyn-Diagramme ins Spiel kommen. und wenn Sie es nicht herausfinden können und weitere Hilfe benötigen, rufen Sie an.

Antworten (2)

Nun, der Beweis in Ref. 1 berechnet streng genommen nicht die quantenwirksame Wirkung Γ [ Φ C l ] direkt, sondern das erzeugende Funktional W C [ J ] von verbundenen Diagrammen auf 2 verschiedene Arten:

  1. Als Bäume, die aus vollständigen Propagatoren, 1PI-Vertices und Quellen konstruiert sind J , über ein kombinatorisches Argument.

  2. Als Bäume konstruiert aus Γ -Vermehrer u Γ -Eckpunkte der Γ -Aktion und Quellen J , aufgrund der WKB-Näherung.

Aufgrund der bijektiven Natur der Legendre-Transformation schließen wir jedoch, dass die Γ -Propagatoren sind vollständige Propagatoren und die Γ -Vertices sind 1PI-Vertices. Weitere Einzelheiten finden Sie in diesem verwandten Phys.SE-Beitrag.

Verweise:

  1. D. Skinner , QFT in 0D ; P. 32-33.

Die explizite Berechnung des vollen effektiven Potentials in Form von Feynman-Diagrammen wird zunächst in „Funktionale Bewertung des effektiven Potentials“, R. Jackiw, Phys. Rev. D 9, 1686 (1974). Die Ergebnisse sind in mehrfacher Hinsicht nicht trivial. Zum einen unterscheidet sich die Struktur des One-Loop-Beitrags zur effektiven Aktion grundlegend von den Higher-Loop-Termen. Der One-Loop-Term ist eine funktionale Determinante, und es war bereits bekannt, wie man ihn vor der betreffenden Arbeit berechnet. [Zum Beispiel wird diese Art der Berechnung umständlicher in „Strahlungskorrekturen als Ursprung spontaner Symmetriebrechung“ durchgeführt. S. Coleman, E. Weinberg, Phys. Rev. D 7, 1888 (1973).]

Die Terme der höheren Schleife beinhalten jedoch eine Summe über irreduzible Ein-Teilchen-Vakuumblasendiagramme, und darüber hinaus sind die Feynman-Regeln für diese Diagramme nicht die Feynman-Regeln für die ursprüngliche Theorie. Zum Beispiel im ϕ 4 Theoretisch beinhalten die Feynman-Regeln für die Vakuumblasen tatsächlich beide 3- ϕ und 4- ϕ Scheitelpunkte, auch wenn die zugrunde liegende Aktion keine hat ϕ 3 Begriff. Und die „Kopplungskonstanten“ für die neuen Feynman-Regeln hängen vom „klassischen“ Feld ab Φ , was erklärt, wie das Endergebnis eine Abhängigkeit von behält Φ .

Es ist ehrlich gesagt eine Menge Arbeit, die Berechnungen im Jackiw-Papier durchzugehen. Sogar Elemente, die relativ einfach erscheinen mögen, wie die Funktion Legendre-Transformation, die die Diagramme eliminiert, die nicht 1PI sind, sind schwierig explizit auszuwerten. Es ist eine große Vertrautheit mit Strahlungskorrekturen erforderlich, um die gesamte Analyse zu analysieren und zu verstehen.

Wie ist dies im Vergleich zur Berechnung in Abschnitt 5.4 hier arxiv.org/abs/math-ph/0204014 ? Was fehlt ihnen, was die Berechnung ausmacht Γ schwerer als das?
@awsomeguy Einer der wichtigsten praktischen Punkte des effektiven Potenzials besteht darin, logarithmische Abhängigkeiten von den Feldern wieder aufzunehmen, die von der Skala abhängen. Die Behandlung in diesem arXiv-Preprint ist nicht in der Lage, diese Terme zu erfassen, da sie die explizite Behandlung sowohl des Impulsaustauschs als auch der Renormierung vernachlässigt.
Wie berechnet man die quanteneffektive Wirkung aus 1PI-Feynman-Diagrammen?
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