In allen Lehrbüchern und Vorlesungsskripten, die ich gefunden habe, schreiben sie die allgemeine Aussage nieder
Ich habe gehört, dass Coleman einen einfachen, in sich geschlossenen Beweis für diese Aussage hatte (nicht rekursiv), aber ich kann ihn nicht finden. Es könnte entlang der Linie des Vergleichs mit dem gewesen sein Erweiterung, aber ich bin mir nicht sicher.
Kennen Sie diesen Beweis? Gibt es dafür eine gute Referenz?
Kommentar: Weinberg hat einen vollständigen Beweis, aber er ist schwierig und nicht intuitiv.
Weinberg, QFT 2, in Abschnitt 16.1 in einer Fußnote 2 verweist auf Coleman, Aspects of Symmetry, S. 135-6, das die Funktionen enthält /loop-Erweiterung. Siehe auch Ref. 3 & 4 für eine ähnliche Idee. In dieser Antwort liefern wir ein nicht-induktives Argument in diese Richtung. Eine nette Eigenschaft dieser Argumentation ist, dass wir uns nicht explizit mit lästiger Kombinatorik und Symmetriefaktoren einzelner Feynman-Diagramme befassen müssen. Dies ist im Formalismus bereits fest verdrahtet.
A) Erinnern wir uns zunächst an einige grundlegende Tatsachen aus der Feldtheorie. Der Klassiker (= -unabhängige) Aktion
Das Partitionsfunktion/Weg-Integral ist
Beachten Sie in der Diagrammerweiterung (A3), wie ein nackter Scheitelpunkt entsteht -Gewicht ; ein interner Bare Propagator kommt mit -Gewicht ; und ein externes Bein kommt mit -Gewicht .
Das Linked-Cluster-Theorem besagt, dass das erzeugende Funktional für verbundene Diagramme ist
Als nächstes erinnern Sie sich an die /loop-expansion
Gl. (A3) und (A6) liefern
Gl. (A9) erkennt die Tatsache, dass bei einer beliebigen endlichen Menge von Einfügungen externer Quellen (eine Summe aller möglichen) verbundenen Baumdiagramme (eine Summe aller möglichen) Bäume von bloßen Propagatoren sind und nackte Ecken.
Beachten Sie, dass die Einschleifen-Quadratwurzelfaktoren in Gl. (A3) & (A4) wirken sich nicht auf die Nullschleifen-/Baumformel (A9) & (A8) aus.
Tabelle 1: Strukturelle Ähnlichkeit zwischen den Abschnitten A und B.
B) Lassen Sie uns abschließend die Frage von OP ansprechen. Berücksichtigen Sie die wirksame/richtige Maßnahme
Anders als die klassische Wirkung (A1) hängt die effektive Wirkung (B1) (implizit) von der reduzierten Planckschen Konstante ab . Wir möchten eine Loop-Erweiterung bzgl. ein neuer Parameter .
Definieren Sie dazu eine Zustandssumme/Wegintegral
Erinnern Sie sich, dass die effektive Aktion (B1) per Definition die Legendre-Transformation des erzeugenden Funktionals ist
Aufgrund der strukturellen Ähnlichkeit zwischen zwei Legendre-Transformationen (A8) & (B8), vgl. Tabelle 1 erhalten wir ein Analogon zu Gl. (A9):
Andererseits sind (eine Summe aller möglichen) verbundene Diagramme bei einer beliebigen endlichen Menge von Einfügungen externer Quellen (eine Summe aller möglichen) Bäume vollständiger Propagatoren und (amputierte) 1PI-Eckpunkte, vgl. Lemma 3.11 in Lit. 5.
Zusammen mit Gl. (B9), schließen wir daraus, dass die wirksame Aktion ist das erzeugende Funktional für (amputierte) 1PI-Eckpunkte (und den inversen vollständigen Propagator ).
Verweise:
S. Weinberg, Quantentheorie der Felder, Bd. 2, 1995; Abschnitt 16.1.
S. Coleman, Aspekte der Symmetrie, 1985; p. 135-6.
M. Srednicki, QFT, 2007; Kapitel 21. Eine PDF-Datei mit einem Vorveröffentlichungsentwurf ist hier verfügbar .
D. Skinner , QFT in 0D , p. 32. (Huttipp: Der letzte Ritter der Seidenstraße .)
P. Etingof, Geometry & QFT, MIT 2002 Online-Vorlesungsunterlagen ; Abschnitte 3.11 & 3.12. (Huttipp: Abdelmalek Abdesselam .)
R. Kleiss, Pictures, Paths, Particles, Processes, Feynman Diagrams and All That and the Standard Model , Skript zur Vorlesung, 2013; Abschnitt 1.5.2.
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Kleingedrucktes:
Angenommen, der Generator von zusammenhängenden Diagrammen hat keine Terme linear in , so dass die effektive Aktion hat keine Terme linear in , und so weiter ist der vollständig verbundene Propagator, vgl. meine Phys.SE-Antwort hier .
Hier wird der Begriff der Ein-Teilchen-irreduziblen (1PI) Eckpunkte bzgl. definiert. zu Vollverbreitern , was dem Begriff der 1PI-Eckpunkte bzgl. entspricht. zu bloßen Vermehrern , vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
Wenn Sie einen Beweis wollen, schlage ich vor, die Werke von Leuten zu lesen, deren Aufgabe es ist, Beweise zu schreiben, auch bekannt als Mathematiker. Das Hauptproblem hier ist, mit kombinatorischen Definitionen und dem Umgang mit Symmetriefaktoren vorsichtig zu sein. Eine mathematisch saubere, aber lesbare Darstellung dieses kombinatorischen Theorems findet sich in dieser Vorlesung von Pavel Etingof (siehe Theorem 3.10 und Proposition 3.12).
Dies hat einen mathematisch strengen Beweis unter Verwendung der graphenbezogenen Gruppentheorie. Sie finden es in den MIT-Vorlesungsunterlagen MATHEMATICAL IDEAS AND NOTIONS OF QUANTUM FIELD THEORY
Auf Seite 13 hat Theorem 3.4 den Beweis. Weitere nützliche Details des Beweises finden Sie in den Cambridge Vorlesungsunterlagen von David Skinner Advanced Quantum Field Theory . Im ersten Kapitel stellte er die sog -dimensionalen Quantenfeldtheorie (dh Gaußsche Integrale) und der Gruppentheorie benötigen Sie zum Verständnis den Beweis aus dem vorangegangenen Skript.
ACuriousMind
dixi
QMechaniker